本章包含許多概念：
對稱矩陣
正定矩陣
共軛矩陣
虛數的共軛和平方
復矩陣
復矩陣的模長和內積
酉矩陣
這裡面很多的概念是準備學習“傅裡葉”之前所必備的概念。
本人吃瞭很大的虧，一開始輕視學習對稱矩陣，奉勸學習的人一定要側重學習對稱矩陣！一開始我們不知道它有什麼用，甚至感覺它就是一種巧合，逐漸在後面的知識中，它意外得像一匹黑馬，非常重要
本章有些強調和補充地方，囉嗦，也是本人在學習中曾經被忽視的地方。
在學習到代數的後期，我們會逐漸發現一個矩陣的性質、特點，很多時候都體現在它的特征值和特征向量上。
而對稱矩陣，逐漸成為拉開這個序幕的一股重要的力量。
對稱矩陣，定義：
（1）A^{T}=A
（2）特征向量之間，任意一對兩兩正交（這是個非常重要的一點，在之後運用中非常非常重要。
這說明瞭特征向量組成的“特征基矩陣”P也是一個正交矩陣。那麼就有當A是一個對稱陣時，存在正交矩陣使得： Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=Lambda ，這完全運用瞭正交矩陣 Q^{-1}=Q^{T} 的性質，且恰好的 Q^{-1}AQ 等於對角陣D的原先使用條件是 P^{-1}AP=Lambda ，而特征基矩陣P又是兩兩正交，所以是正交矩陣，所以將P用正交矩陣Q去替換之。）
另外還能引申出其它的性質：
（3）如果A是一個對稱陣，那麼 A^{T}A 構成的矩陣也是對稱矩陣
另外其“長相”也有一定的特征：
（4）
註意的是：一開始學習的時候，更應該側重記憶（1）（2）（3），而（4）在實際很多的問題上，我們更要發揮能不能“看”不重要，重點是要會用（性質123）。
（補充一點會遺忘的點：向量兩兩正交是指，比如上面圖片中，3*1+1*2+7*9=0，如果結果是等於0，就是說，這一對向量兩兩正交，註意中間的符號是加哦，不是減！但對稱矩陣是指對稱矩陣A的特征向量之間兩兩正交，不是指對稱矩陣A。）
關於對稱矩陣的其它重要關註點：
（5）對稱矩陣不一定可逆。比如一個三階矩陣：
1 0 0
0 1 0
0 0 0
是一個對稱矩陣，但存在0行0列，它是一個不可逆的矩陣。
類似的還有：
0 2 0
2 0 0
0 0 0
或者是0矩陣，這些，都是不可逆的。
對稱矩陣可以逆，也可以無法逆；
它既可能線性無關，也可能線性相關；
它既可能存在0行0列，也可能是滿秩。
關於這一系列的推導可以關註之前章節提到的“神功運轉路線”。
（6）在（1）中 A^{T}=A ，進而，一個可逆的對稱矩陣， A^{2} （或者也可以說） A^{T}*A ，甚至 A^{n} ，這些A的冪次對稱矩陣都和對稱矩陣A有相等的零空間和秩。（前提，A一定是可逆。）
還有可以補充可以延伸思考的另一個性質：
（7）對角矩陣都是對稱矩陣。（但是對稱矩陣不一定是對角矩陣！）
強化和分辨：
（8）A基於是對稱矩陣的前提：
在(2)說：對稱矩陣A的特征向量之間，任意一對兩兩正交
可推導，A一定存在可逆的“特征基”矩陣P，進而可推到存在對角陣 Lambda （ Lambda 也是一個對稱矩陣，但A作為對稱矩陣就不一定是對角陣瞭，參見（7）），
且可逆的“特征基”矩陣P，我們在（2）說 P是一個特征向量矩陣，任意一對兩兩正交，正交又完全等同於互相垂直的概念，
在之前的章節我們提到一句很重要的話：
“互相垂直的各列一定是線性無關的”，
所以A的特征向量矩陣P列向量一定都是線性無關的！
註意，初學的時候，非常容易將線性無關和A和 Lambda 關聯，這是一種錯誤的想法，
這裡屢次強調的“兩兩正交，線性無關，絕對不存在0行0列，絕對可逆”，是指的是特征向量矩陣P，而不是A和 Lambda ！P是A的特征向量矩陣！
（且絕對可逆，也同樣也可以看出：
因為P可逆，所以P作為A的特征向量矩陣，可以有
A^{n}=PLambda ^{n}P^{-1} ，
我想表達的是：正因為P可逆，所以才存在A的 Lambda ）
還是要強調一遍，是P可逆，P絕對是可逆的，而不是說對稱矩陣A可不可逆！！！
A可以逆，也可以無法逆！
另一個非常重要的是：
上面討論的是：A基於是對稱矩陣的前提，P也是絕對存在的，P也絕對可逆。
但是，如果A不是對稱矩陣，那麼P也絕對存在，但P不一定是可逆的。A對角陣 Lambda 也不一定存在瞭。
還有我們不能說，P可逆A就是對稱矩陣，這種反推顯然是不對的。
請一定要記住，不要弄混瞭。
（9）
基於（8）的討論。特征向量P還能化為單位向量矩陣，隻需要將長度縮放到1，所以我們有標準正交向量Q，即可以把P認為是標準正交矩陣Q。
（單位向量是指模等於1的向量。即范數（或者 內積）兩兩為1。）
所以對於 A^{n}=PLambda ^{n}P^{-1} ，
我們對P進行Schmidt化，而P已經是本身自帶正交化，那麼隻需要單位化，就可以實現Schmidt化，我們就能將P化為標準正交矩陣Q（或者說規范正交矩陣Q），
得出： A^{n}=QLambda ^{n}Q^{-1}
而對於標準正交矩陣，我們有這樣的性質： Q^{-1}=Q^{T} （標準正交矩陣，它 逆等於轉置）
，所以：
A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} ，
對瞭，因為我們一直說A是對稱矩陣，對稱矩陣一定是方陣，所以P單位化後，更準確的說法是正交矩陣，而非模棱兩可的規范正交矩陣。
而對稱矩陣說的 A^{T}=A ，
所以進一步的，
對於 A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} 也可以同等於 A^{n}=Q^{T}Lambda ^{n}Q
總結：
由於對稱矩陣可以將特征向量矩陣P進行單位化而成為正交矩陣，所以有Q替代P，再因為正交矩陣的性質“Q的逆”和“Q的轉置”這兩個矩陣可以等同，對稱矩陣又使得“Q的轉置”等於“Q”，使得最後形成對於 A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} 同等於 A^{n}=Q^{T}Lambda ^{n}Q的推論，
這就是實數空間的譜定理。
簡而言就是，實數空間譜定理是：對稱矩陣在標準正交基下某個特性互通。（這個特性就是上面的結論）.
譜就是矩陣特征值的集合。
(我對譜定理還有很多不清晰，長路迢迢啊。)
補充：
雖然，上面沒有討論對稱矩陣和正交矩陣之間關系，對稱矩陣是A和 Lambda ，正交矩陣是從P化到Q，但看到網絡上充斥著大量的錯誤，所以特別說明下：
對稱矩陣有可能是正交矩陣。大部分情況都不是正交矩陣。
正交矩陣可能是對稱矩陣。大部分情況不是。對稱矩陣（4）的性質和隨便翻本書的正交矩陣的樣子明顯都不一樣。
先看下不是的：比如：
1 0
0 0
它是一個對稱矩陣，可逆不可逆對於它來講無所謂，但它不是一個正交矩陣，因為它無法逆啊
這就說明瞭對稱矩陣不是正交矩陣的其中一個例子。
而最簡單的二階單位矩陣就是對稱矩陣，也是正交矩陣！
關於范數和Schmidt化，這部分可以看之間我寫的章節：
14、范數、內積、歸一、正交化、標準正交(Schmidt化）
（10）對稱矩陣內的數字一定是實數。定義對稱矩陣一定在實數空間內，不可能存在虛數。
這部分在下面的共軛矩陣中會再次提到。
（11）在對稱矩陣中，特征值的乘積總是等於行列式
（12）對稱矩陣中，
主元的正值的個數和負值的個數，分別等於，特征值正值的個數和負值的個數
（我們把正的特征值個數稱為正慣性指數，把負的特征值個數稱為負慣性指數）
（慣性指數是特征值的個數）
（本章暫且不提及慣性指數，在之後的學習中會提到。）
關於對稱陣還有其它的性質，可覺得一時沒有特別的關註點，可以看百度百科：
對稱矩陣_百度百科
反對稱矩陣：
滿足 A^{T}=-A 的矩陣為反對稱矩陣。
且 可推， A^{T}*A=-A 。 （對稱矩陣是 A^{T}*A=A^{2} ）
其外貌特征是主對角線上的元素是0，關於主對角線對稱的元素互為相反數
比如
A=
0 1
-1 0
是個二階反對稱矩陣
正定矩陣：
正定矩陣A是對稱矩陣中的一種。其特點是：
（1）A的特征值都是正的
（2）矩陣A行最簡的主元都是正的。
（3）所有的子行列式都為正
子行列式概念：
從原行列式左上角開始依次劃分出 1×1 的一塊,2×2 的一塊，…得到的這些子塊對應的行列式就稱之為“子行列式”。
copy下別人的例子，覺得沒必要浪費時間再添加什麼瞭：
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關於更詳細的正定矩陣的學習和概念：
請參見本人寫的22章：
共軛矩陣：
共軛矩陣又稱為：自共軛矩陣、Hermite陣、埃爾米特矩陣。
共軛矩陣有分為“實數共軛矩陣”和“復數共軛矩陣”，
當是一個“實數共軛矩陣”時，實數共軛矩陣就是對稱矩陣。
當是一個“復數共軛矩陣時”，即包含瞭虛部，那麼它不是對稱矩陣，
我們要明白對於虛數i的共軛是什麼，
看一下概念：
兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數。（當虛部不等於0時也叫共軛虛數）
復數z的共軛復數記作 bar{z} ，也可表示為 z^{*}
根據定義，若z=a+ib (a，b∈R)，則它的共軛是 bar{z} =a－ib（a,b∈R)。
舉個例子：
矩陣A為復數共軛矩陣：
1+i 2+i
2-i 1+i
在實數空間裡，我們可以認為共軛就是為對稱，而虛數還要參照上面說的。
所以在復數空間裡，如果一個復數矩陣想擁有實數對稱矩陣的性質，需要滿足 bar{A}^{T}=A
簡單說，包含實部和虛部的A要想擁有對稱矩陣的性質，不僅要滿足等於它的轉置，還要等於它的共軛。
而如果是實數空間，沒有虛部，那麼就直接等於轉置就可以瞭，沒必要再共軛，因為它的共軛就是本身啊。
所以：在實數空間內， Ax=lambda x 永遠同等於Abar{x}=bar{lambda}bar{x}
（對稱矩陣一定是實數。一定在實數空間內。）
備註：
共軛矩陣擁有這對稱矩陣的性質，且共軛矩陣的特征值都是實數，它的特征向量互相垂直。
虛數的平方和共軛：
復數求范數或內積的核心就是，原先在實數空間內的 sqrt{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+…+{x_{n}}^{2}} ，現在變為瞭需要對 每個復數“x” 求共軛， sqrt{{bar{x}_{1}}^{2}+{bar{x}_{2}}^{2}+…+{bar{x}_{n}}^{2}}
（考慮到轉置這東西實在不過是公式裡數乘運算的規范，其實在意義沒有，那我想幹脆就人性化，不要去記住轉置這種東西，直接記得上面的式子，才簡潔，不產生其它歧義。）
已知復數“x”是包含瞭實數和虛數，實數的共軛是本身，那麼虛數的共軛是：
虛數的平方：（i3表示i的三次方，沒這種寫法，但我要節省時間，就這麼寫瞭）
i1 = i
i2= – 1
i3 = – i
i4 = 1
i5 = i
i6 = – 1
i7 = – i
i8 = 1
冪次i，一次循環以4為周期，
周期內一次奇數次方為i，二次偶數次方為-1，三次奇數次方為-i，四次奇數次方為1.
以此循環。
對於虛數的共軛是取相反符號：
比如：
i的共軛是-i
4+3i 的共軛是 4-3i
於是“對稱矩陣”若在出現虛數，便不叫“對稱矩陣”，復數空間裡，它應該的叫法是：
“共軛矩陣”。
比如：
a 4+3i
4-3i b
備註：
共軛矩陣的特征值都是實數。它的特征向量互相垂直。
備註：
求一個數的共軛和共軛矩陣是不同的，並不是說“求某的共軛，它就是一個復數內對稱矩陣。NO。”，共軛和共軛矩陣還是要有區分開來學習。
復矩陣和它的模長：
在復數空間內的矩陣都是復矩陣。
我們對包含實數和虛數的數求“模長”和“內積”，其操作和實數空間內求“模長”和“內積”稍有些不同。
做下實數求模長的簡單回憶：
一個實數要求模長（范數、長度），
比如列向量A=[1 2]的模長為 sqrt{1^{2}+2^{2}} ，
即是 sqrt{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}} ，也有公式這麼闡述： sqrt{A^{T}A} ，
而對於復數的情況，即存在虛部，它的模長為： sqrt{bar{A}^{T}A} ，
表達的即是A不僅要做轉置要要同時做“共軛”。我們將 bar{A}^{T} 寫做 A^{H}
H就是共軛矩陣、埃爾米特矩陣、自共軛矩陣。（H主要代表瞭實數虛數共軛的性質）
酉矩陣：
正交矩陣是指在實數空間的范圍內的，而在復數空間裡，有相同正交性質的，不叫正交矩陣，而叫“酉矩陣”。
簡單總結：
在實數空間：A正交矩陣，B對稱矩陣 ；
在復數空間：A酉矩陣 ，B共軛矩陣 。
（完）
