本章包含許多概念:
對稱矩陣
正定矩陣
共軛矩陣
虛數的共軛和平方
復矩陣
復矩陣的模長和內積
酉矩陣
這裡面很多的概念是準備學習“傅裡葉”之前所必備的概念。
本人吃瞭很大的虧,一開始輕視學習對稱矩陣,奉勸學習的人一定要側重學習對稱矩陣!一開始我們不知道它有什麼用,甚至感覺它就是一種巧合,逐漸在後面的知識中,它意外得像一匹黑馬,非常重要
本章有些強調和補充地方,囉嗦,也是本人在學習中曾經被忽視的地方。
在學習到代數的後期,我們會逐漸發現一個矩陣的性質、特點,很多時候都體現在它的特征值和特征向量上。
而對稱矩陣,逐漸成為拉開這個序幕的一股重要的力量。
對稱矩陣,定義:
(1)A^{T}=A
(2)特征向量之間,任意一對兩兩正交(這是個非常重要的一點,在之後運用中非常非常重要。
這說明瞭特征向量組成的“特征基矩陣”P也是一個正交矩陣。那麼就有當A是一個對稱陣時,存在正交矩陣使得: Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=Lambda ,這完全運用瞭正交矩陣 Q^{-1}=Q^{T} 的性質,且恰好的 Q^{-1}AQ 等於對角陣D的原先使用條件是 P^{-1}AP=Lambda ,而特征基矩陣P又是兩兩正交,所以是正交矩陣,所以將P用正交矩陣Q去替換之。)
另外還能引申出其它的性質:
(3)如果A是一個對稱陣,那麼 A^{T}A 構成的矩陣也是對稱矩陣
另外其“長相”也有一定的特征:
(4)
註意的是:一開始學習的時候,更應該側重記憶(1)(2)(3),而(4)在實際很多的問題上,我們更要發揮能不能“看”不重要,重點是要會用(性質123)。
(補充一點會遺忘的點:向量兩兩正交是指,比如上面圖片中,3*1+1*2+7*9=0,如果結果是等於0,就是說,這一對向量兩兩正交,註意中間的符號是加哦,不是減!但對稱矩陣是指對稱矩陣A的特征向量之間兩兩正交,不是指對稱矩陣A。)
關於對稱矩陣的其它重要關註點:
(5)對稱矩陣不一定可逆。比如一個三階矩陣:
1 0 0
0 1 0
0 0 0
是一個對稱矩陣,但存在0行0列,它是一個不可逆的矩陣。
類似的還有:
0 2 0
2 0 0
0 0 0
或者是0矩陣,這些,都是不可逆的。
對稱矩陣可以逆,也可以無法逆;
它既可能線性無關,也可能線性相關;
它既可能存在0行0列,也可能是滿秩。
關於這一系列的推導可以關註之前章節提到的“神功運轉路線”。
(6)在(1)中 A^{T}=A ,進而,一個可逆的對稱矩陣, A^{2} (或者也可以說) A^{T}*A ,甚至 A^{n} ,這些A的冪次對稱矩陣都和對稱矩陣A有相等的零空間和秩。(前提,A一定是可逆。)
還有可以補充可以延伸思考的另一個性質:
(7)對角矩陣都是對稱矩陣。(但是對稱矩陣不一定是對角矩陣!)
強化和分辨:
(8)A基於是對稱矩陣的前提:
在(2)說:對稱矩陣A的特征向量之間,任意一對兩兩正交
可推導,A一定存在可逆的“特征基”矩陣P,進而可推到存在對角陣 Lambda ( Lambda 也是一個對稱矩陣,但A作為對稱矩陣就不一定是對角陣瞭,參見(7)),
且可逆的“特征基”矩陣P,我們在(2)說 P是一個特征向量矩陣,任意一對兩兩正交,正交又完全等同於互相垂直的概念,
在之前的章節我們提到一句很重要的話:
“互相垂直的各列一定是線性無關的”,
所以A的特征向量矩陣P列向量一定都是線性無關的!
註意,初學的時候,非常容易將線性無關和A和 Lambda 關聯,這是一種錯誤的想法,
這裡屢次強調的“兩兩正交,線性無關,絕對不存在0行0列,絕對可逆”,是指的是特征向量矩陣P,而不是A和 Lambda !P是A的特征向量矩陣!
(且絕對可逆,也同樣也可以看出:
因為P可逆,所以P作為A的特征向量矩陣,可以有
A^{n}=PLambda ^{n}P^{-1} ,
我想表達的是:正因為P可逆,所以才存在A的 Lambda )
還是要強調一遍,是P可逆,P絕對是可逆的,而不是說對稱矩陣A可不可逆!!!
A可以逆,也可以無法逆!
另一個非常重要的是:
上面討論的是:A基於是對稱矩陣的前提,P也是絕對存在的,P也絕對可逆。
但是,如果A不是對稱矩陣,那麼P也絕對存在,但P不一定是可逆的。A對角陣 Lambda 也不一定存在瞭。
還有我們不能說,P可逆A就是對稱矩陣,這種反推顯然是不對的。
請一定要記住,不要弄混瞭。
(9)
基於(8)的討論。特征向量P還能化為單位向量矩陣,隻需要將長度縮放到1,所以我們有標準正交向量Q,即可以把P認為是標準正交矩陣Q。
(單位向量是指模等於1的向量。即范數(或者 內積)兩兩為1。)
所以對於 A^{n}=PLambda ^{n}P^{-1} ,
我們對P進行Schmidt化,而P已經是本身自帶正交化,那麼隻需要單位化,就可以實現Schmidt化,我們就能將P化為標準正交矩陣Q(或者說規范正交矩陣Q),
得出: A^{n}=QLambda ^{n}Q^{-1}
而對於標準正交矩陣,我們有這樣的性質: Q^{-1}=Q^{T} (標準正交矩陣,它 逆等於轉置)
,所以:
A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} ,
對瞭,因為我們一直說A是對稱矩陣,對稱矩陣一定是方陣,所以P單位化後,更準確的說法是正交矩陣,而非模棱兩可的規范正交矩陣。
而對稱矩陣說的 A^{T}=A ,
所以進一步的,
對於 A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} 也可以同等於 A^{n}=Q^{T}Lambda ^{n}Q
總結:
由於對稱矩陣可以將特征向量矩陣P進行單位化而成為正交矩陣,所以有Q替代P,再因為正交矩陣的性質“Q的逆”和“Q的轉置”這兩個矩陣可以等同,對稱矩陣又使得“Q的轉置”等於“Q”,使得最後形成對於 A^{n}=QLambda ^{n}Q^{T} 同等於 A^{n}=Q^{T}Lambda ^{n}Q的推論,
這就是實數空間的譜定理。
簡而言就是,實數空間譜定理是:對稱矩陣在標準正交基下某個特性互通。(這個特性就是上面的結論).
譜就是矩陣特征值的集合。
(我對譜定理還有很多不清晰,長路迢迢啊。)
補充:
雖然,上面沒有討論對稱矩陣和正交矩陣之間關系,對稱矩陣是A和 Lambda ,正交矩陣是從P化到Q,但看到網絡上充斥著大量的錯誤,所以特別說明下:
對稱矩陣有可能是正交矩陣。大部分情況都不是正交矩陣。
正交矩陣可能是對稱矩陣。大部分情況不是。對稱矩陣(4)的性質和隨便翻本書的正交矩陣的樣子明顯都不一樣。
先看下不是的:比如:
1 0
0 0
它是一個對稱矩陣,可逆不可逆對於它來講無所謂,但它不是一個正交矩陣,因為它無法逆啊
這就說明瞭對稱矩陣不是正交矩陣的其中一個例子。
而最簡單的二階單位矩陣就是對稱矩陣,也是正交矩陣!
關於范數和Schmidt化,這部分可以看之間我寫的章節:
14、范數、內積、歸一、正交化、標準正交(Schmidt化)
(10)對稱矩陣內的數字一定是實數。定義對稱矩陣一定在實數空間內,不可能存在虛數。
這部分在下面的共軛矩陣中會再次提到。
(11)在對稱矩陣中,特征值的乘積總是等於行列式
(12)對稱矩陣中,
主元的正值的個數和負值的個數,分別等於,特征值正值的個數和負值的個數
(我們把正的特征值個數稱為正慣性指數,把負的特征值個數稱為負慣性指數)
(慣性指數是特征值的個數)
(本章暫且不提及慣性指數,在之後的學習中會提到。)
關於對稱陣還有其它的性質,可覺得一時沒有特別的關註點,可以看百度百科:
對稱矩陣_百度百科
反對稱矩陣:
滿足 A^{T}=-A 的矩陣為反對稱矩陣。
且 可推, A^{T}*A=-A 。 (對稱矩陣是 A^{T}*A=A^{2} )
其外貌特征是主對角線上的元素是0,關於主對角線對稱的元素互為相反數
比如
A=
0 1
-1 0
是個二階反對稱矩陣
正定矩陣:
正定矩陣A是對稱矩陣中的一種。其特點是:
(1)A的特征值都是正的
(2)矩陣A行最簡的主元都是正的。
(3)所有的子行列式都為正
子行列式概念:
從原行列式左上角開始依次劃分出 1×1 的一塊,2×2 的一塊,…得到的這些子塊對應的行列式就稱之為“子行列式”。
copy下別人的例子,覺得沒必要浪費時間再添加什麼瞭:
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關於更詳細的正定矩陣的學習和概念:
請參見本人寫的22章:
共軛矩陣:
共軛矩陣又稱為:自共軛矩陣、Hermite陣、埃爾米特矩陣。
共軛矩陣有分為“實數共軛矩陣”和“復數共軛矩陣”,
當是一個“實數共軛矩陣”時,實數共軛矩陣就是對稱矩陣。
當是一個“復數共軛矩陣時”,即包含瞭虛部,那麼它不是對稱矩陣,
我們要明白對於虛數i的共軛是什麼,
看一下概念:
兩個實部相等,虛部互為相反數的復數互為共軛復數。(當虛部不等於0時也叫共軛虛數)
復數z的共軛復數記作 bar{z} ,也可表示為 z^{*}
根據定義,若z=a+ib (a,b∈R),則它的共軛是 bar{z} =a-ib(a,b∈R)。
舉個例子:
矩陣A為復數共軛矩陣:
1+i 2+i
2-i 1+i
在實數空間裡,我們可以認為共軛就是為對稱,而虛數還要參照上面說的。
所以在復數空間裡,如果一個復數矩陣想擁有實數對稱矩陣的性質,需要滿足 bar{A}^{T}=A
簡單說,包含實部和虛部的A要想擁有對稱矩陣的性質,不僅要滿足等於它的轉置,還要等於它的共軛。
而如果是實數空間,沒有虛部,那麼就直接等於轉置就可以瞭,沒必要再共軛,因為它的共軛就是本身啊。
所以:在實數空間內, Ax=lambda x 永遠同等於Abar{x}=bar{lambda}bar{x}
(對稱矩陣一定是實數。一定在實數空間內。)
備註:
共軛矩陣擁有這對稱矩陣的性質,且共軛矩陣的特征值都是實數,它的特征向量互相垂直。
虛數的平方和共軛:
復數求范數或內積的核心就是,原先在實數空間內的 sqrt{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+…+{x_{n}}^{2}} ,現在變為瞭需要對 每個復數“x” 求共軛, sqrt{{bar{x}_{1}}^{2}+{bar{x}_{2}}^{2}+…+{bar{x}_{n}}^{2}}
(考慮到轉置這東西實在不過是公式裡數乘運算的規范,其實在意義沒有,那我想幹脆就人性化,不要去記住轉置這種東西,直接記得上面的式子,才簡潔,不產生其它歧義。)
已知復數“x”是包含瞭實數和虛數,實數的共軛是本身,那麼虛數的共軛是:
虛數的平方:(i3表示i的三次方,沒這種寫法,但我要節省時間,就這麼寫瞭)
i1 = i
i2= – 1
i3 = – i
i4 = 1
i5 = i
i6 = – 1
i7 = – i
i8 = 1
冪次i,一次循環以4為周期,
周期內一次奇數次方為i,二次偶數次方為-1,三次奇數次方為-i,四次奇數次方為1.
以此循環。
對於虛數的共軛是取相反符號:
比如:
i的共軛是-i
4+3i 的共軛是 4-3i
於是“對稱矩陣”若在出現虛數,便不叫“對稱矩陣”,復數空間裡,它應該的叫法是:
“共軛矩陣”。
比如:
a 4+3i
4-3i b
備註:
共軛矩陣的特征值都是實數。它的特征向量互相垂直。
備註:
求一個數的共軛和共軛矩陣是不同的,並不是說“求某的共軛,它就是一個復數內對稱矩陣。NO。”,共軛和共軛矩陣還是要有區分開來學習。
復矩陣和它的模長:
在復數空間內的矩陣都是復矩陣。
我們對包含實數和虛數的數求“模長”和“內積”,其操作和實數空間內求“模長”和“內積”稍有些不同。
做下實數求模長的簡單回憶:
一個實數要求模長(范數、長度),
比如列向量A=[1 2]的模長為 sqrt{1^{2}+2^{2}} ,
即是 sqrt{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}} ,也有公式這麼闡述: sqrt{A^{T}A} ,
而對於復數的情況,即存在虛部,它的模長為: sqrt{bar{A}^{T}A} ,
表達的即是A不僅要做轉置要要同時做“共軛”。我們將 bar{A}^{T} 寫做 A^{H}
H就是共軛矩陣、埃爾米特矩陣、自共軛矩陣。(H主要代表瞭實數虛數共軛的性質)
酉矩陣:
正交矩陣是指在實數空間的范圍內的,而在復數空間裡,有相同正交性質的,不叫正交矩陣,而叫“酉矩陣”。
簡單總結:
在實數空間:A正交矩陣,B對稱矩陣 ;
在復數空間:A酉矩陣 ,B共軛矩陣 。
(完)