負數在我們生活中處處可見

在小學階段，我們是從溫度開始接觸負數和認識負數的，1大氣壓下冰點混合物的溫度表示0℃，則開水的溫度為+100℃，而零下15℃則記為-15℃，夏天武漢氣溫高達42°C你會想到武漢的確象火爐，冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負號讓你感到北方冬天的寒冷。

瞭解到負數表示與正數相反意義的量，在日常生活中，人們常用“+”表示收入，用“-”表示支出，若收入100元記作+100元，支出200元記作-200元；若以海平面為0點，則珠穆朗瑪峰的高度約為+8848米，最深的馬裡亞納海溝深約-11034米。在初中階段，我們要進一步學習和研究負數，負數從出現到被人們所接受和應用經歷瞭一個漫長且曲折的過程，下面我們就來瞭解下負數的歷史。

負數的產生

數學源於生活，服務於生活，是人類實踐活動的產物，在人們生活和實踐中，當遇到新情況、新問題，發現之前的數學知識不能解決所面臨的的問題，就會進行一些新的研究和探索，出現一些新的知識和事物。

對數學的產生無非就是兩個路徑：一是實踐的產物，二是數學自身邏輯的產物。負數的產生就是如此：一方面是源自人們生活中的經驗，如交易中的盈利和虧損，個人收支的得與失等；另一方面也是數學自身的發展需求，如減法運算中，兩個正數相減不一定得到正數。

古人在生活實踐活動中遇到瞭一些問題：如兩人互相借用東西，對借出方和借入方來說，同一東西具有不同的意義；再如從同一地點，兩人同時向相反方向行走，離開出發點的距離即使相同，但其表示的意義卻不同。

人們逐漸意識到僅用數量表示一個事物是不全面的，似乎還應加上表示方向的符號。為瞭解決這些問題，表示具有相反意義的量等問題，人們不得不創造出一類新數，於是逐漸產生瞭負數，把數的領域從正數擴大到負數的領域。

在人類的生活和實踐中，經過不斷地探索和研究，被人們所發現、研究、接受和使用的數越來越多，已形成一個龐大的體系，相信這個體系在將來也會繼續擴大和完善。

我國是最早認識和使用負數的國傢，戰國時期李鋰（約前455—前395）所著的《法經》中已出現使用負數的實例：”衣五人終歲用千五百不足四百五十。

現在有很多秦漢時期的竹簡陸續被發現，在甘肅省居延海附近發現的漢代竹簡上，出現瞭大量的負數運算的寶貴史料，如“萬歲候長”有“負四筭，得七筭，相除得三筭”。“筭”為古字“算”，“相除”就是相減，“負”是欠人傢的，其算法是7-4=3，實際應是（－4）+7=3。又如“相除以負百二十四筭”，即指－124，這些出土文物，都雄辯地證明負數在我國的起源是很早的。

負數產生的另一個原因是數學內部研究的需要，由於解方程的需要。據世界上第一部關於負數完整介紹的古算書《九章算術》記載，由於在解方程組的時候常常會碰到小數減大數的情況，為瞭使方程組能解，數學傢發明瞭負數。

公元前3世紀，我國偉大數學傢劉徽在註解《九章算術》時率先給出瞭負數的定義：

“今兩算得失相反，要令正負以名之”，並辯證地闡明：“言負者未必負於少，言正者未必正於多。”

在實踐過程中，遇到具有相反意義的兩數，以正數和負數來區分它們，把“賣（收入錢）”作為正，則“買（付出錢）”作為負，把“餘錢”作為正，則“不足錢”作為負．在關於糧谷計算的問題中，是以益實（增加糧谷）為正，損實（減少糧谷）為負等，

在《九章算術》中最早提出瞭正負數加減法的法則，描述為“同名相除，異名相益，正無入正之，負無入負之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之．”這裡“名”就是“號”，“同名”、“異名”即現在的“同號”、“異號”、“除”和“益”則是“減”和“加”，“無”就是“零”。這段話的前四句說的是正負數減法法則，後四句說的是正負數加法法則。

用現在的話說就是：“正負數的加減法則是：同符號兩數相減，等於其絕對值相減，異號兩數相減，等於其絕對值相加。零減正數得負數，零減負數得正數。異號兩數相加，等於其絕對值相減，同號兩數相加，等於其絕對值相加。零加正數等於正數，零加負數等於負數。”

劉徽關於正負數的研究，是建立在當時的人們使用正負數運算的經驗之上的，是以凝練的詞語、確切的含義對這一實踐的理論升華，是負數發展史上的一個裡程碑。

印度在公元7世紀才采用負數，公元628年，印度的《婆羅摩修正體系》一書中，給出瞭正數、負數的四則運算法則，把負數解釋為負債和損失。

西方首先使用負數的是古希臘的丟番圖，盡管不承認方程的負根，但他已知道“減數乘減數得加數，加數乘減數得減數”。可見對正數、負數的四則運算他已瞭如指掌。在解方程中若出現負根，他就放棄這個方程，認為是不可解的。

1544年，德國的史提菲把負數定義為比任何數都小的數，1545年，意大利的卡當著《大法》，成為歐洲第一部論述負數的著作。

1572年，意大利數學傢邦貝利（1526—1572）在他的《代數學》中才給出瞭負數的明確定義。

負數的表示

我國古代數字是用算籌擺出來的，為瞭區分正數和負數，采用籌算來表示正負數的：譬如：用紅籌表示正數，黑籌表示負數；用正擺表示正數，用斜著擺表示負數；用截面為三角形的籌表示正數，用截面為正方形或矩形的籌表示負數；在負數後面寫一個“負”字；用文字表示正負號；用斜畫一杠表示負數，通常畫在最後一位有效數字上……

但令人遺憾的是，中國古代數學始終沒有創用簡明的符號來表達負數，這是一個致命的弱點，它嚴重阻礙瞭中國數學的大發展。

用不同顏色的數表示正負數的習慣，一直保留到現在。現在一般用紅色表示負數，報紙上登載某國經濟上出現赤字，表明支出大於收入，財政上虧瞭錢。

印度的數學傢婆什伽羅在《算法本源》一書中，首次提出用記號表示負數，即在數字的上面加上小點或小圓圈來表示負數，這應當是負數發展史上的又一次超越。

1629年頗具遠見的法國數學傢吉拉爾（1595—1632）在《代數新發現》中用減號表示負數和減法運算，吉拉爾的負數符號得到人們的公認，一直沿用至今。

負數從產生到被接受認可經歷瞭一個漫長而曲折的過程

中國人、印度人在1000多年以前就認識瞭負數，並使用正負數進行簡單加減運算，與中國古代數學傢不同，西方數學傢更多的是研究負數存在的合理性，西方國傢對負數的認識經歷瞭一段艱難曲折的歷程，從15世紀直到19世紀，西方世界對於負數的爭論達400多年之久，許多數學傢一直采取不承認的態度。

希臘數學傢丟番圖一方面應用著負數，並且給出負數的運算法則，另一方面卻拒絕方程的負根。丟番圖這種矛盾的雙重性態度，代表瞭西方世界較為普遍的傾向，即實踐上加以應用，理論上拒絕承認負數。就此，他們又展開瞭長時間的深入思考，思考的焦點凝聚於一點就是：方程到底有沒有負根？

法國大數學傢韋達，在代數方面作出瞭巨大貢獻，但他在解方程時卻極力回避負數，並把負根統統舍去．有許多數學傢由於把零看作“沒有”，他們不能理解比“沒有”還要“少”的現象，因而認為負數是“荒謬的”．

意大利著名數學傢斐波那契在《算盤書》中認為負量是有意義的，可表負債，但它也不承認負根。

法國數學傢阿納德還舉出一個例子來反對負數，他說，承認－1/1=1/－1，而－1<1，那麼較小數與較大數的比，怎能等於較大數與較小數的比呢？這個責難引起瞭不少數學傢的贊同，連德國大數學傢萊佈尼茲也認為這個責難是有道理的。

著名數學傢德摩根在《論數學的研究和困難》（1831年）一書中，他也舉瞭一個具有“說服力”的例子說：“父親活56歲，他的兒子29歲。問什麼時候，父親的歲數是兒子的2倍？”他設X年時，父親為兒子年齡的2倍數，並列出方程56+X=2（29+X）,解得X=－2。他說這個結果是荒唐的。事實上，X=－2可以理解為父、子年齡退後兩年便是問題之解。

在歐洲一些數學傢無法撩開負數的面紗，但也有一些思想開放的數學傢逐漸讀懂瞭負數的內涵。意大利數學傢邦別利在《代數學》（1572年）一書中正式給出瞭負數的明確定義。

荷蘭數學傢吉拉爾在《代數新發現》（1629年）中第一次提出瞭代數的基本定理，最早指出一元n次方程有n個根，他是歐洲最早承認方程負根的數學傢，同時第一個提出用負號“－”表示負數。從此，負數符號“－”逐漸得到人們的公認，一直沿用至今。

直到17世紀，笛卡兒創立瞭坐標系，負數獲得瞭幾何解釋和實際意義，才逐漸得到瞭公認．笛卡爾在《方法論》（1637年）一書中，建立瞭坐標點，將平面點與負數、零、正數組成的實數對應起來，使負數得到瞭解釋；系統建立瞭平面笛卡爾直角坐標系的應用，討論瞭決定正根和負根的“笛卡爾法則”，負數才得到新的地位，顯示出瞭它的獨特魅力。

隨著19世紀整數理論基礎的建立，德國數學傢魏爾斯特拉斯、皮亞諾等人為整數奠定瞭邏輯基礎以後，負數才在現代數學中獲得鞏固的地位，負數在邏輯上的合理性才真正建立，負數的地位最終得到確立。

1860年，維爾斯特拉斯在柏林大學的一次講課時，把有理數定義為整數對，即當m，n為整數時，n/m（m≠0）定義為一個有理數，當m，n中有一個為負整數時，就得到一個負有理數。這就把負數的基礎確立在整數基礎上。

1900年後，皮亞諾在著名的《算術原理新方法》中又用自然數確立瞭整數的地位：設a，b為自然數，則數對（a，b）即“a－b”定義一個整數，當a>b時為正整數；a<b時就得到瞭一個負整數。

至此，通過近2000年的努力，歷經數十代數學傢的前仆後繼的工作和努力，負數的地位終於被牢固地確立瞭，半個多世紀的爭論也終於降下瞭帷幕。

負數產生歷史的回顧

回顧西方對待負數的態度轉變，我們可以看大數學傢高斯的一段總結：早年的代數學傢叫方程的負根為假根，當與它們有關的問題是用這樣的方式來表達，即所求的量的性質不能有相反的量時，這個講法的確是真實的。

正如分數對許多可數的東西毫無意義而言，而我們卻在廣義的算術裡毫不躊躇地承認瞭它一樣，我們不應該隻因為有無數的東西不許其有相反的量，就否認負數有同於正數的權利。因為在其他無數的場合中，負數也具有合宜的解釋，所以它的真實性就得到充分的佐證瞭。這段話，言簡意賅地說明瞭負數在西方開始被拒絕的原因與後來又被接受的理由。

負數概念的建立在數學發展中是一個重要的裡程碑，負數作為數概念的一次擴展，其意義至少包含以下幾個方面：首先，負數的概念是客觀存在的。生活中存在著許多相反意義的量，人們無法對它完全回避；其次，負數是方程的需要。

引入負數以後，可以使更多的方程有解，而且可以對方程作更一般的討論，而不必回避很多類型的方程；再次，負數還是數的運算的必然結果。兩個正數相減，不夠減就需要用負數來表達其運算結果。引入負數，構成整數系統，這樣對於加、減、乘的運算就都是封閉的瞭。

為什麼負數在東方能較早得到認可，而在西方普遍較晚呢？以我國為例，至少有以下幾個方面的原因對負數概念的提出起到瞭促進作用。

首先，我國在漢朝的社會生產力大大提高，現實生活中具有相反意義的量不斷出現，實踐中提出許多與負數有關的問題，使得負數概念的產生成為一件必要的事；

其次，我國數學傢普遍具有實用的態度也是重要原因。東方數學比較註重實用，而不太註意邏輯的嚴密性。我國最早產生負數是為瞭解決生活中越來越多的虧欠、負債等現實問題，是實踐的需要。

在東方，人們對有用的就引入使用，並沒有糾纏於負數存在的邏輯基礎，或過多考慮其中可能存在的更深刻的矛盾；再有一點值得提及的是，我國傳統哲學所註重的陰陽對立、矛盾雙方相反相成等辯證觀念，也深刻影響瞭我們對負數概念的理解。劉徽對負數的認識就是從陰陽對立雙方相反相成的觀點出發進行論述的。

與此相對，這些有利引入負數的條件在當時的西方卻不具備，其中最重要的一點就是東西方在數學基本觀念上的差別。西方數學傢繼承瞭古希臘的數學傳統，不像中國數學傢那樣註重實用，而是更為強調邏輯。雖然西方人也會經常面對生活中具有相反意義的量，他們的數學觀念卻阻礙瞭他們從實踐中產生負數的概念。

可以說，正是西方數學傳統中具有的對邏輯嚴密性的情有獨鐘的傾向，阻礙瞭西方人對負數的認可，同時也促使他們對負數進行瞭更深刻的思考。所以，東西方對於負數接受得早與晚，不能簡單地用先進與落後來評價，這段歷史倒是讓我們看到瞭不同民族的社會背景、傳統文化對於數學發展造成的深刻影響。