0、引言

本文定位為工具書，為瞭方便查閱，將性質整理和證明分成獨立的兩部分，以便查閱。

之所以說是工科生的傅裡葉變換，是因為我們工科生常用ω=2πf消掉傅裡葉變換的系數2π。這樣的變換對的對偶性就沒有2π瞭，各種隻要不涉及積分微分的性質相對好記。

考慮到本文的受眾是工科生，故部分證明過程並不那麼嚴謹。

（題圖催櫻之刻）

1、一些函數的定義

這些定義是與許多工科教材的定義一致的。如果對這些定義有所瞭解的話，可以略過本章。本來不想寫這些定義的，畢竟本文的定位是工具書向。不過擔心因為定義不同導致瞭歧義誤導他人，還是寫瞭這一章。

1.1、單位階躍函數

uleft( t right) =begin{cases} 0,&t<0\ 1,&tgeqslant 0\ end{cases}tag{1.1}

事實上，我們並不怎麼關心該函數在 x=0 處的值，有的書將其定義為 uleft( 0 right) =1/2 。對於數學系的可能比較care這個，因為它決定瞭一些積分的值，但對於我們工科生而言就完全不care瞭。因此，本文中如果沒有特殊聲明，則均認為文中跳變點處的值是無所謂的。

其函數圖像如下圖所示：

1.2、單位沖激函數（δ函數/Dirac函數）

單位沖激函數可以看做

delta left( t right) =begin{cases} 0,&tne 0\ +infty ,&t=0\ end{cases}tag{1.2}

其中有：

int_{-infty}^x{delta left( t right) mathrm{d}t}=begin{cases} 0,& x<0\ 1,& xgeqslant 0\ end{cases}=uleft( x right)tag{1.3}

並且有一個被人們稱為“篩選性”的性質。顧名思義，對於任意函數 fleft( t right) ，都能篩選出 fleft( t_0 right) 的值。

int_{-infty}^{infty}{fleft( t right) delta left( t-t_0 right) mathrm{d}t}=fleft( t_0 right) tag{1.4}

對於δ函數，因為它的取值是0或者無窮，所以我們沒辦法畫出它的圖像。我們通常用一個向上的箭頭來表示它：

不會電腦畫，用畫圖工具大致畫瞭下

關於δ函數具體的形式，有很多種定義方法。例如定義為：

delta left( t right) =lim_{krightarrow 0^+} begin{cases} frac{1}{k},& left| t right|<frac{k}{2}\ 0,& mathrm{else}\ end{cases}tag{1.5}

δ函數還有很多性質，如偶函數性和伸縮性質，這些性質結合(1.5)式就很容易理解瞭：

delta left( t right) =delta left( -t right) tag{1.6}

delta left( t right) =left| a right| delta left( a t right) tag{1.7}

1.3、矩形函數（門函數）

矩形函數的形狀類似一扇門，故有時候我們也稱之為門函數。將非0區間的長度稱為門寬。例如下面就是門寬為1的門函數（矩形函數）的定義：

mathrm{rect}left( t right) =G_1left( t right) =uleft( t+frac{1}{2} right) -uleft( t-frac{1}{2} right) =begin{cases} 1,& left| t right|<frac{1}{2}\ 0,& mathrm{else}\ end{cases}tag{1.8}

其函數圖像如下圖所示：

門寬為任意正數 m 的定義如下：

mathrm{rect}left( frac tm right) =G_mleft( t right) =uleft( t+frac{m}{2} right) -uleft( t-frac{m}{2} right) =begin{cases} 1,& left| t right|<frac{m}{2}\ 0,& mathrm{else}\ end{cases}tag{1.9}

其函數圖像如下圖所示：

1.4、三角波函數

顧名思義，三角波函數就是一個三角形。

mathrm{tri}left( t right) =begin{cases} 1-left| t right|,& left| t right|<1\ 0,& mathrm{else}\ end{cases}tag{1.10}

其函數圖像如下圖所示：

半底寬為任意正數 m 的定義如下：

mathrm{tri}left( frac t m right) =begin{cases} 1-left| t/m right|,& left| t right|<m\ 0,& mathrm{else}\ end{cases}tag{1.11}

其函數圖像如下圖所示：

1.5、sinc函數

sinc函數在信號處理中十分常用，因為它的傅裡葉變換是門函數。在數學系的教材中，它的定義通常乘以瞭一個系數π。而在我們工科，通常不乘以π。本文采用的是工科的定義，具體定義如下：

mathrm{sinc}left( x right) =frac{sin x}{x}tag{1.12}

註意到這個函數在x=0處沒有定義，但是該點恰好是一個可去間斷點，因此將其極限值1作為該點函數值的定義。即 mathrm{sinc}left( 0 right) =1 。

其函數圖像如下圖所示：

1.6、共軛函數

我們用 x^*(t) 代表函數 x(t) 的共軛函數。

1.7、卷積函數

我們用 x_1(t)*x_2(t) 代表 x_1(t) 和 x_2(t) 的卷積，即：

x_1left( t right) *x_2left( t right) =int_{-infty}^{infty}{x_1left( tau right) x_2left( t-tau right) mathrm{d}tau}tag{1.13}

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2、傅裡葉變換相關符號的定義

數學系通常用符號i作為虛數單位，而我們工科一般用 mathrm{j}=sqrt{-1} 作為虛數單位，本文中所有出現虛數單位的時候都采用j這一符號。並且我們有時候利用關系 omega =2pi f 消去逆變換的系數2π，這一點請多加留意。

我們將自變量為角頻率ω的 Fleft( omega right) 函數稱為 fleft( t right) 的傅裡葉變換函數，我們將自變量為頻率f的 Sleft( f right) 函數稱為 sleft( t right) 的頻譜函數。

將傅裡葉變換過程用花體符號 mathscr{F} 表示：

begin{cases} Fleft( omega right) &=mathscr{F}left{ fleft( t right) right}& =displaystyle int_{-infty}^{infty}{fleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ Sleft( f right) &=mathscr{F}left{ sleft( t right) right} &=displaystyle int_{-infty}^{infty}{sleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}2pi ft}mathrm{d}t}\ end{cases}tag{2.1}

將傅裡葉逆變換過程用花體符號 mathscr{F}^{-1} 表示：

begin{cases} fleft( t right)&=mathscr{F}^{-1}left{Fleft( omega right) right}& =displaystyle frac1{2pi}int_{-infty}^{infty}{Fleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega}\ sleft( t right)&=mathscr{F}^{-1}left{ Sleft( f right) right} &=displaystyle int_{-infty}^{infty}{Sleft( f right) mathrm{e}^{mathrm{j}2pi ft}mathrm{d}f}\ end{cases}tag{2.2}

比較明顯的是：若s(t)與f(t)相同，則有：

Fleft( omega right)=Sleft( f right)=Sleft( frac{omega}{2pi} right)tag{2.3}

考慮到花體符號 mathscr{F} 表示對變換關系體現得不是那麼顯明，因此用下(2.4)式來表現變換關系會相對更加顯明：

begin{cases} fleft( t right) leftrightarrow Fleft( omega right)\ sleft( t right) leftrightarrow Sleft( f right)\ end{cases}tag{2.4}

註意：本文中用到a↔b符號時，均指a的傅裡葉變換為b。

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3、頻域為ω的傅裡葉變換性質大全

我們比較常用的是頻域為ω的傅裡葉變換，不過這樣的變換性質會大量出現常數項(2π)。

3.1、線性性質

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，a、b為常數，則有：

ax_1left( t right) +bx_2left( t right) leftrightarrow aX_1left( omega right) +bX_2left( omega right) tag{3.1}

3.2、共軛性質

簡單地說，實偶對實偶，實奇對虛奇。即：實偶函數的傅裡葉變換是實偶函數，實奇函數的傅裡葉變換是虛奇函數。

3.3、時域平移性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) 則有：

x(t-t_0) leftrightarrow X(omega)mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t_0} tag{3.2}

3.4、頻域平移性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) 則有：

xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega_0 t}leftrightarrow Xleft( omega -omega _0 right) tag{3.3}

3.5、尺度變換性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，對於大於0的常數a，有：

xleft( at right) leftrightarrow frac{1}{a}Xleft( frac{omega}{a} right) tag{3.4}

3.6、對偶性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

Xleft( t right) leftrightarrow 2pi cdot xleft( -omega right) tag{3.5}

3.7、時域微分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}xleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}omega Xleft( omega right) tag{3.6}

3.8、頻域微分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

txleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}Xleft( omega right) tag{3.7}

3.9、時域積分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

int_{-infty}^t{xleft( tau right) mathrm{d}tau}leftrightarrow frac{1}{mathrm{j}omega}Xleft( omega right) +pi Xleft( 0 right) delta left( omega right) tag{3.8}

3.10、時域卷積

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，有：

x_1left( t right) *x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) cdot X_2left( omega right) tag{3.9}

3.11、頻域卷積

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，有：

2pi cdot x_1left( t right)cdot x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) * X_2left( omega right) tag{3.10}

3.12、時域初值

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

2pi cdot xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{d}omega} tag{3.11}

3.13、頻域初值

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

Xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{d}t} tag{3.12}

3.14、帕塞瓦爾等式

若實函數 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

int_{-infty}^{infty}{x^2left( t right) mathrm{d}t}=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{left| Xleft( omega right) right|^2mathrm{d}omega} tag{3.13}

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4、頻域為f的傅裡葉變換性質大全

對於功率譜的估計，我們有時使用頻域為f的傅裡葉變換，這樣的變換中，一些地方的常數項(2π)會被消掉，因此結果比較簡明。

4.1、線性性質

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( f right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( f right) ，a、b為常數，則有：

ax_1left( t right) +bx_2left( t right) leftrightarrow aX_1left( f right) +bX_2left( f right) tag{4.1}

4.2、共軛性質

簡單地說，實偶對實偶，實奇對虛奇。即：實偶函數的傅裡葉變換是實偶函數，實奇函數的傅裡葉變換是虛奇函數。

4.3、時域平移性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) 則有：

x(t-t_0) leftrightarrow X(f)mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t_0} tag{4.2}

4.4、頻域平移性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) 則有：

xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega_0 t}leftrightarrow Xleft( f -f _0 right) tag{4.3}

4.5、尺度變換性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，對於大於0的常數a，有：

xleft( at right) leftrightarrow frac{1}{a}Xleft( frac{f}{a} right) tag{4.4}

4.6、對偶性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

Xleft( t right) leftrightarrow xleft( -f right) tag{4.5}

4.7、時域微分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}xleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}omega Xleft( f right) tag{4.6}

4.8、頻域微分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

txleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}Xleft( f right) tag{4.7}

4.9、時域積分性

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

int_{-infty}^t{xleft( tau right) mathrm{d}tau}leftrightarrow frac{1}{mathrm{j}omega}Xleft( f right) +frac12 Xleft( 0 right) delta left( f right) tag{4.8}

4.10、時域卷積

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( f right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( f right) ，有：

x_1left( t right) *x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( f right) cdot X_2left( f right) tag{4.9}

4.11、頻域卷積

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( f right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( f right) ，有：

x_1left( t right)cdot x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( f right) * X_2left( f right) tag{4.10}

4.12、時域初值

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{Xleft( f right) mathrm{d}f} tag{4.11}

4.13、頻域初值

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( f right) ，有：

Xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{d}t} tag{4.12}

4.14、帕塞瓦爾等式

若實函數 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

int_{-infty}^{infty}{x^2left( t right) mathrm{d}t}=int_{-infty}^{infty}{left| Xleft( f right) right|^2mathrm{d}f} tag{4.13}

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5、傅裡葉對大全

x(t)<->X(f)的變換對根據對偶性很好記。

begin{matrix} xleft( t right)& & Xleft( omega right)& Xleft( f right)\ delta left( t right)& leftrightarrow& 1& 1\ 1& leftrightarrow& 2pi delta left( omega right)& delta left( f right)\ cos left( omega _0t right)& leftrightarrow& pi left[ delta left( omega -omega _0 right) +delta left( omega +omega _0 right) right]& frac{delta left( f-f_0 right) +delta left( f+f_0 right)}{2}\ sum_{n=-infty}^{infty}{delta left( t-nT right)}& leftrightarrow& omega _0sum_{k=-infty}^{infty}{delta left( omega -komega _0 right)}& f_0sum_{k=-infty}^{infty}{delta left( f-kf_0 right)}\ G_Tleft( t right)& leftrightarrow& Tmathrm{sinc}left( frac{T}{2}cdot omega right)& Tmathrm{sinc}left( pi Tcdot f right)\ f_0mathrm{sinc}left( pi f_0t right)& leftrightarrow& G_{omega _0}left( omega right)& G_{f_0}left( f right)\ mathrm{tri}left( frac{t}{T} right)& leftrightarrow& Tmathrm{sinc}^2left( frac{T}{2}cdot omega right)& Tmathrm{sinc}^2left( pi Tcdot f right)\ f_0mathrm{sinc}^2left( pi f_0t right)& leftrightarrow& mathrm{tri}left( frac{omega}{omega _0} right)& mathrm{tri}left( frac{f}{f_0} right)\ mathrm{sinc}left( frac{pi t}{T} right) frac{cos left( pi t/T right)}{1-4t^2/T^2}& leftrightarrow& frac{T}{2}left( 1+cos left( frac{T}{2}cdot omega right) right) G_{4pi /T}left( omega right)& frac{T}{2}left( 1+cos left( pi Tcdot f right) right) G_{2/T}left( f right)\ uleft( t right)& leftrightarrow& frac{1}{mathrm{j}omega}+delta left( omega right)& frac{1}{mathrm{j}2pi f}+frac{1}{2pi}delta left( f right)\ mathrm{e}^{-aleft| t right|}& leftrightarrow& frac{2a}{omega ^2+a^2}& frac{2a}{4pi ^2f^2+a^2}\ end{matrix}

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6、頻域為ω的傅裡葉變換性質大全

頻域為f的傅裡葉變換性質證明是類似的，讀者可以仿此證明。

6.1、線性性質證明

{color{orange} {mathbf{{定理A1}}}}

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，a、b為常數，則有：

ax_1left( t right) +bx_2left( t right) leftrightarrow aX_1left( omega right) +bX_2left( omega right) tag{3.1}

{color{violet}{mathbf{ 證明A1 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ ax_1left( t right) +bx_2left( t right) right} &=int_{-infty}^{infty}{left[ ax_1left( t right) +bx_2left( t right) right] mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=aint_{-infty}^{infty}{x_1left( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}+bint_{-infty}^{infty}{x_2left( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=aX_1left( omega right) +bX_2left( omega right)\ end{aligned}tag{6.1}

6.2、共軛性質

簡單地說，實偶對實偶，實奇對虛奇。即：實偶函數的傅裡葉變換是實偶函數，實奇函數的傅裡葉變換是虛奇函數。

{color{violet}{mathbf{ 證明A2 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ xleft( t right) right} &=int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=left[ int_{-infty}^{infty}{x^*left( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}t} right] ^*\ &=left[ int_{-infty}^{infty}{x^*left( -u right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega u}mathrm{d}u} right] ^*text{（}u=-ttext{）}\ &=left[ mathscr{F}left{ x^*left( -t right) right} right] ^*\ end{aligned}tag{6.2}

6.3、時域平移性

{color{orange} {mathbf{{定理A3}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) 則有：

x(t-t_0) leftrightarrow X(omega)mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t_0} tag{3.2}

{color{violet}{mathbf{ 證明A3 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ xleft( t-t_0 right) right} &=int_{-infty}^{infty}{xleft( t-t_0 right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega left( t+t_0 right)}mathrm{d}t}text{（}t-t_0rightarrow ttext{）}\ &=Xleft( omega right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t_0}\ end{aligned}tag{6.3}

6.4、頻域平移性

{color{orange} {mathbf{{定理A4}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) 則有：

xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega_0 t}leftrightarrow Xleft( omega -omega _0 right) tag{3.3}

{color{violet}{mathbf{ 證明A4 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega _0t} right} &=int_{-infty}^{infty}{left[ xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega _0t} right] mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}left( omega -omega _0 right) t}mathrm{d}t}\ &=Xleft( omega -omega _0 right)\ end{aligned}tag{6.4}

6.5、尺度變換性

{color{orange} {mathbf{{定理A5}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，對於大於0的常數a，有：

xleft( at right) leftrightarrow frac{1}{a}Xleft( frac{omega}{a} right) tag{3.4}

{color{violet}{mathbf{ 證明A5 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ xleft( at right) right} &=int_{-infty}^{infty}{xleft( at right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t/a}mathrm{d}left( t/a right)}text{（}atrightarrow ttext{）}\ &=frac{1}{a}int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}left( omega /a right) t}mathrm{d}t}\ &=frac{1}{a}Xleft( frac{omega}{a} right)\ end{aligned}tag{6.5}

6.6、對偶性

{color{orange} {mathbf{{定理A6}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

Xleft( t right) leftrightarrow 2pi cdot xleft( -omega right) tag{3.5}

{color{violet}{mathbf{ 證明A6 }}}

begin{aligned} xleft( t right) &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega left( -t right)}mathrm{d}omega}\ end{aligned}tag{6.6}

因此：

Xleft( omega right) leftrightarrow 2pi cdot xleft( -t right) tag{6.7}

將變量名對換即得證。

6.7、時域微分性

{color{orange} {mathbf{{定理A7}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}xleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}omega Xleft( omega right) tag{3.6}

{color{violet}{mathbf{ 證明A7 }}} （本證明2行->3行有跳步，請讀者自行完善）

begin{aligned} frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}xleft( t right) &=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}mathscr{F}^{-1}left{ Xleft( omega right) right}\ &=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega}\ &=left[ frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{mathrm{j}omega Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega} right]\ &=mathscr{F}^{-1}left{ mathrm{j}omega Xleft( omega right) right}\ end{aligned}tag{6.8}

6.8、頻域微分性

{color{orange} {mathbf{{定理A8}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

txleft( t right) leftrightarrow mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}Xleft( omega right) tag{3.7}

{color{violet}{mathbf{ 證明A8 }}} （本證明2行->3行有跳步，請讀者自行完善）

begin{aligned} mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}Xleft( omega right) &=mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}mathscr{F}left{ xleft( t right) right}\ &=mathrm{j}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}omega}int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{mathrm{j}left( -mathrm{j}t right) xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{txleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=mathscr{F}left{ txleft( t right) right}\ end{aligned}tag{6.9}

6.9、時域積分性

{color{orange} {mathbf{{定理A9}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

int_{-infty}^t{xleft( tau right) mathrm{d}tau}leftrightarrow frac{1}{mathrm{j}omega}Xleft( omega right) +pi Xleft( 0 right) delta left( omega right) tag{3.8}

{color{violet}{mathbf{ 證明A9 }}} （本證明4行->5行用到瞭單位階躍函數的傅裡葉變換）

begin{aligned} int_{-infty}^t{xleft( tau right) mathrm{d}tau}&=frac{1}{2pi}int_{-infty}^t{int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega tau}mathrm{d}omega}mathrm{d}tau}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) int_{-infty}^t{mathrm{e}^{mathrm{j}omega tau}mathrm{d}tau}mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) int_{-infty}^{infty}{uleft( t-tau right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega tau}mathrm{d}tau}mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right)mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega int_{-infty}^{infty}{uleft( p right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega p}mathrm{d}p} }text{（}t-tau rightarrow ptext{）}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) left( frac{1}{mathrm{j}omega}+pi delta left( omega right) right)mathrm{e}^{mathrm{j}omega t} mathrm{d}omega}\ &=mathscr{F}^{-1}left{ frac{Xleft( omega right)}{mathrm{j}omega}+pi Xleft( 0 right) delta left( omega right) right}\ end{aligned}tag{6.10}

6.10、時域卷積

{color{orange} {mathbf{{定理A10}}}}

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，有：

x_1left( t right) *x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) cdot X_2left( omega right) tag{3.9}

{color{violet}{mathbf{ 證明A10 }}}

begin{aligned} mathscr{F}left{ x_1left( t right) *x_2left( t right) right} &=int_{-infty}^{infty}{int_{-infty}^{infty}{x_1left( tau right) x_2left( t-tau right) mathrm{d}tau}mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ &=int_{-infty}^{infty}{x_1left( tau right) int_{-infty}^{infty}{mathrm{e}^{-mathrm{j}omega left( t-tau right)}x_2left( t-tau right) mathrm{d}t}mathrm{e}^{-mathrm{j}omega tau}mathrm{d}tau}\ &=X_2left( omega right) int_{-infty}^{infty}{x_1left( tau right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega tau}mathrm{d}tau}\ &=X_1left( omega right) cdot X_2left( omega right)\ end{aligned}tag{6.11}

6.11、頻域卷積

{color{orange} {mathbf{{定理A11}}}}

若 x_1left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) 、 x_2left( t right) leftrightarrow X_2left( omega right) ，有：

2pi cdot x_1left( t right)cdot x_2left( t right) leftrightarrow X_1left( omega right) * X_2left( omega right) tag{3.10}

{color{violet}{mathbf{ 證明A11 }}}

begin{aligned} mathscr{F}^{-1}left{ X_1left( omega right) *X_2left( omega right) right} &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{int_{-infty}^{infty}{X_1left( v right) X_2left( omega -v right) mathrm{d}v}mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega}\ &=int_{-infty}^{infty}{X_1left( v right) left[ frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{X_2left( omega -v right) mathrm{e}^{mathrm{j}left( omega -v right) t}mathrm{d}omega} right] mathrm{e}^{mathrm{j}vt}mathrm{d}v}\ &=2pi x_2left( t right) left[ frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{X_1left( v right) mathrm{e}^{mathrm{j}vt}mathrm{d}v} right]\ &=2pi x_1left( t right) cdot x_2left( t right)\ end{aligned}tag{6.12}

6.12、時域初值

{color{orange} {mathbf{{定理A12}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

2pi cdot xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{d}omega} tag{3.11}

{color{violet}{mathbf{ 證明A12 }}}

將 t=0 代入傅裡葉變換的定義：

begin{array}{ll} &displaystyle xleft( t right) =frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega}\ Rightarrow &displaystyle xleft( 0 right) =frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{d}omega}\ end{array}tag{6.13}

6.13、頻域初值

{color{orange} {mathbf{{定理A13}}}}

若 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

Xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{d}t} tag{3.12}

{color{violet}{mathbf{ 證明A13 }}}

begin{array}{l} & displaystyle Xleft( omega right) =int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t}\ Rightarrow& displaystyle Xleft( 0 right) =int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{d}t}\ end{array}tag{6.14}

6.14、帕塞瓦爾等式

{color{orange} {mathbf{{定理A14}}}}

若實函數 xleft( t right) leftrightarrow Xleft( omega right) ，有：

int_{-infty}^{infty}{x^2left( t right) mathrm{d}t}=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{left| Xleft( omega right) right|^2mathrm{d}omega} tag{3.13}

{color{violet}{mathbf{ 證明A14 }}}

begin{aligned} int_{-infty}^{infty}{x^2left( t right) mathrm{d}t}&=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) left[ int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}omega} right] mathrm{d}t}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) left[ int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{mathrm{j}omega t}mathrm{d}t} right] mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) left[ int_{-infty}^{infty}{xleft( t right) mathrm{e}^{-mathrm{j}omega t}mathrm{d}t} right] ^*mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{Xleft( omega right) X^*left( omega right) mathrm{d}omega}\ &=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}{left| Xleft( omega right) right|^2mathrm{d}omega}\ end{aligned}tag{6.15}