《齒輪傳動8》介紹平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪傳動的基礎知識與標準幾何尺寸計算（包括斜齒輪齒廓曲面的形成及傳動特點、漸開線斜齒圓柱齒輪的參數與正確嚙合條件與重合度、外嚙合平行軸漸開線標準斜齒（人字齒）圓柱齒輪幾何尺寸計算、內嚙合平行軸漸開線標準斜齒（人字齒）圓柱齒輪幾何尺寸計算）。

平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪傳動的基礎知識與標準幾何尺寸計算

斜齒輪齒廓曲面的形成及傳動特點

齒輪是有一定寬度的，直齒圓柱齒輪概念中出現的點、線、圓實際上是空間的線、面、圓柱，如：接觸點 rightarrow 接觸線，嚙合線 rightarrow 嚙合面，分度圓rightarrow 分度圓柱，基圓 rightarrow 基圓柱，漸開線齒廓曲線 rightarrow 漸開線齒廓曲面。

發生面S沿基圓柱做純滾動，發生面上任意一條與基圓柱母線 NN^{'} 平行的直線 KK^{'} 在空間所走過的軌跡即為漸開線直齒圓柱齒輪的齒廓曲面，如下圖（a）所示。發生面S沿基圓柱做純滾動，發生面上任意一條與基圓柱母線 NN^{'} 成一個傾斜角 beta_{b} 的直線 KK^{'} 在空間所走過的軌跡為一個漸開線螺旋面，即為漸開線斜齒圓柱齒輪的齒廓曲面，如下圖（b）所示， beta_{b} 稱為基圓柱上的螺旋角。

漸開線直齒圓柱齒輪嚙合時，齒面的接觸線平行於齒輪軸線，如下圖所示。因此，直齒圓柱齒輪輪齒沿整個齒寬方向同時進入嚙合、同時脫離嚙合，沿齒寬突然加載或卸載，因此，直齒輪傳動的平穩性較差，容易產生沖擊和噪聲，不適合高速、大功率的齒輪傳動。

一對平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪嚙合時，斜齒圓柱齒輪的齒廓是逐漸進入和脫離嚙合的，如下圖所示，斜齒圓柱齒輪的齒廓接觸線的長度由零逐漸增加，又逐漸縮短，直至脫離接觸，如下圖所示。

一對平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪嚙合時，當其齒廓前端面脫離嚙合時，齒廓的後端面仍在嚙合中，在齒寬方向上不是突然加載及卸載，平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪的嚙合過程比直齒輪長，同時嚙合的齒輪對數也比直齒輪多，也就是相比直齒輪嚙合其重合度較大。因此，平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪傳動工作較平穩、承載能力強、噪聲和沖擊較小，適用於高速、大功率的齒輪傳動。

漸開線斜齒圓柱齒輪的參數與正確嚙合條件與重合度

漸開線斜齒圓柱齒輪的輪齒為螺旋形，在垂直於齒輪軸線的端面（下標以t表示）和垂直於齒廓螺旋面的法面（下標以n表示）上有不同的參數。漸開線斜齒圓柱齒輪的端面是標準的漸開線，但從漸開線斜齒圓柱齒輪的加工和受力角度看，斜齒圓柱齒輪的法面參數應為標準值。

1螺旋角 beta

下圖所示為漸開線斜齒圓柱齒輪分度圓柱面展開圖，螺旋線展開成一直線，該直線與軸線的夾角 beta 稱為斜齒輪在分度圓柱上的螺旋角，簡稱斜齒輪的螺旋角。tan beta = pi d/ p_{z}

在基圓柱上，同理可得其螺旋角 beta_{b} : tan beta_{b} = pi d_{b} / p_{z} = pi dcos alpha_{t} / p_{z} = tan beta cos alpha_{t}

通常用分度圓上的螺旋角 beta 來進行幾何尺寸的計算。螺旋角 beta 越大，輪齒越傾斜，傳動的平穩性也越好，但軸向力也越大。通常在設計時取 beta = 8° sim 20°。對於人字齒輪，其軸向力可以抵消，常取 beta = 25° sim 45°，但加工較為困難，一般用於重型機械的齒輪傳動中。

漸開線斜齒圓柱齒輪按其齒廓漸開線螺旋面的旋向，可分為右旋和左旋兩種，如下圖所示。

2模數

如下圖所示，在漸開線斜齒圓柱齒輪分度圓柱面展開圖上， p_{t} 為端面齒距， p_{t} = pi m_{t} ， p_{n} 為法面齒距， p_{n} = pi m_{n} ， p_{n} = p_{t} cos beta ，也就是 pi m_{n} = pi m_{t} cos beta ，所以漸開線斜齒圓柱齒輪法面模數與端面模數的關系為 m_{n} = m_{t} cos beta 。

3壓力角

因為漸開線斜齒圓柱齒輪和斜齒條嚙合時，它們的法面壓力角和端面壓力角應分別相等，所以漸開線斜齒圓柱齒輪法面壓力角 alpha_{n} 和端面壓力角 alpha_{t} 的關系可以通過斜齒條得到。

在下圖所示的斜齒條中，平面ABD在端面上，平面ACE在法面上， angle ACB = 90°。在直角 triangle ABD、直角 triangle ACE及直角 triangle ABC中，tan alpha_{t} = AB/BD，tan alpha_{n} = AC/CE，AC = ABcos beta ，BD = CE，所以有tan alpha_{n} = AC/CE = ABcos beta /BD = tan alpha_{t} cos beta 。

4齒頂高系數及頂隙系數

無論從法向或從端面來看，輪齒的齒頂高都是相同的， h_{a} = h_{an}^{ast} m_{n} = h_{at}^{ast} m_{t} ，又因為 m_{n} = m_{t} cos beta ，所以有關系式 h_{at}^{ast} = h_{an}^{ast} cos beta 。

無論從法向或從端面來看，輪齒的頂隙也是相同的， c = c_{n}^{ast} m_{n} = c_{t}^{ast} m_{t} ，又因為 m_{n} = m_{t} cos beta ，所以有關系式 c_{t}^{ast} = c_{n}^{ast} cos beta 。

5正確嚙合條件

斜齒圓柱齒輪在端面內的嚙合相當於直齒輪的嚙合。因此，斜齒輪傳動螺旋角大小應相等，斜齒輪外嚙合時旋向相反，斜齒輪內嚙合時旋向相同，同時斜齒輪的法向參數為標準值，斜齒輪的正確嚙合條件為下面3個等式。

① alpha_{n1} = alpha_{n2} = alpha ② m_{n1} = m_{n2} = m ③ beta_{1} 的數值大小 = beta_{2} 的數值大小

6重合度

如下圖所示為斜齒輪與斜齒條在前端面的嚙合情況，由從動齒條前端面齒頂與主動輪前端面齒根接觸點A開始嚙合，至主動輪後端面齒頂與從動齒條後端面齒根接觸點E退出嚙合。

從上圖俯視圖上看出，後端面開始脫離嚙合時，前端面仍然處在嚙合區，隻有當後端面完全脫離嚙合時，該對齒才終止嚙合，實際嚙合線長度為FH，因此斜齒輪傳動的重合度 varepsilon 為

varepsilon = FG/ p_{t} + GH/ p_{t} = varepsilon_{alpha} + btan beta / p_{t} = varepsilon_{alpha} + btan beta /（ pi m_{t} ） = varepsilon_{alpha} + varepsilon_{beta}

上面等式中， varepsilon_{alpha} 為斜齒輪傳動的端面重合度， varepsilon_{beta} = btan beta / p_{t} 稱為斜齒輪傳動的縱向重合度。

顯然， beta 增大，縱向重合度 varepsilon_{beta} 即隨之增大，從而使重合度 varepsilon 達到很大的值。

外嚙合平行軸漸開線標準斜齒（人字齒）圓柱齒輪幾何尺寸計算

隻要將外嚙合標準直齒圓柱齒輪的幾何尺寸計算公式中的各參數看作端面參數，就完全適用於外嚙合平行軸標準斜齒輪（人字齒輪）的幾何尺寸計算。

（1）螺旋角 beta： beta 根據設計取相應值。

（2）基圓柱螺旋角 beta_{b} ：tan beta_{b} = tan beta cos alpha_{t}

（3）法面模數 m_{n}： m_{n} 按強度計算或結構設計確定，並按表取標準值。

（4）端面模數 m_{t}： m_{t} = m_{n} /cos beta

（5）法面壓力角 alpha_{n}： alpha_{n} 取標準值

（6）端面壓力角 alpha_{t}：tan alpha_{t} = tan alpha_{n} /cos beta

（7）分度圓直徑 d ： d = m_{t} z = m_{n} z/cos beta

（8）基圓直徑 d_{b}： d_{b} = dcos alpha_{t}

（9）齒頂高 h_{a} ：h_{a} = h_{an}^{ast} m_{n}

（10）齒根高 h_{f}： h_{f} = （ h_{an}^{ast} + c_{n}^{ast} ） m_{n}

（11）全齒高 h ： h = h_{a} + h_{f} =（2 h_{an}^{ast} + c_{n}^{ast} ） m_{n}

（12）齒頂圓直徑 d_{a} ：d_{a} = d +2 h_{a}

（13）齒根圓直徑 d_{f}： d_{f} = d – 2 h_{f}

（14）法面齒距 p_{n}： p_{n} = pi m_{n}

（15）端面齒距 p_{t}： p_{t} = pi m_{t} = pi m_{n} /cos beta = p_{n} /cos beta

（16）標準中心距 a ： a =0.5（ d_{1} + d_{2} ） = 0.5m_{t} （ z_{1} + z_{2} ） = 0.5m_{n} （ z_{1} + z_{2} ）/cos beta

（17）端面齒頂圓壓力角 alpha_{at}： alpha_{at} = arccos（ d_{b} / d_{a} ）

（18）重合度 varepsilon ：

①端面重合度 varepsilon_{alpha} ：varepsilon_{alpha} =0.5（1/ pi ）[ z_{1} （tan alpha_{at1} – tan alpha_{t} ） + z_{2} （tan alpha_{at2} – tan alpha_{t} ）]

②縱向重合度 varepsilon_{beta}： varepsilon_{beta} = bsin beta /（ pi m_{n} ）

③重合度 varepsilon： varepsilon = varepsilon_{alpha} + varepsilon_{beta}

（19）當量齒數 z_{v}： z_{v} = z/ cos^{3} beta

從上面的計算公式中可以看出，斜齒輪傳動的中心距與螺旋角 beta 有關。當一對斜齒輪的模數、齒數一定時，可以通過改變螺旋角 beta 的方法來湊配中心距。

內嚙合平行軸漸開線標準斜齒（人字齒）圓柱齒輪幾何尺寸計算

將內嚙合標準直齒圓柱齒輪的幾何尺寸計算公式中的各參數看作端面參數，就完全適用於內嚙合平行軸標準斜齒輪（人字齒輪）的幾何尺寸計算。

（1）法面模數 m_{n}： m_{n} 按強度計算或結構設計確定，並按表取標準值。

（2）端面模數 m_{t}： m_{t} = m_{n} /cos beta

（3）法面壓力角 alpha_{n}： alpha_{n} 取標準值

（4）端面壓力角 alpha_{t}： tan alpha_{t} = tan alpha_{n} /cos beta

（5）分度圓直徑d ：①外齒輪 d_{1} = z_{1} m_{t} = z_{1} m_{n} /cos beta ②內齒輪 d_{2} = z_{2} m_{t} = z_{2} m_{n} /cos beta

（6）齒頂高 h_{a} ：①外齒輪 h_{a1} = h_{an}^{ast} m_{n} ②內齒輪 h_{a2} = （ h_{an}^{ast} – Delta h_{an}^{ast} ） m_{n}

Delta h_{an}^{ast} = （h_{an}^{ast}）^{2} cos^{3} beta /（ z_{2} tan^{2} alpha_{n} ）是為瞭避免過渡曲線幹涉的齒頂高系數減少量。

當 h_{an}^{ast} = 1同時 alpha_{n} = 20°時， Delta h_{an}^{ast} = 7.55 cos^{3} beta / z_{2} 。

（7）齒根高 h_{f} ：h_{f} = （ h_{an}^{ast} + c_{n}^{ast} ） m_{n}

（8）全齒高h ： ①外齒輪 h_{1} = h_{a1} + h_{f} ②內齒輪 h_{2} = h_{a2} + h_{f}

（9）齒頂圓直徑 d_{a}： ①外齒輪 d_{a1} = d_{1} + 2 h_{a1} ②內齒輪 d_{a2} = d_{2} + 2 h_{a2}

（10）齒根圓直徑 d_{f} ： ①外齒輪 d_{f1} = d_{1} – 2 h_{f} ②內齒輪 d_{f2} = d_{2} – 2 h_{f}

（11）標準中心距 a ： a =0.5（ d_{2} – d_{1} ） = m_{n} （ z_{2} – z_{1} ）/（2cos beta ）

（12）基圓直徑 d_{b}： ①外齒輪 d_{b1} = d_{1} cos alpha_{t} ②內齒輪 d_{b2} = d_{2} cos alpha_{t}

（13）齒頂圓壓力角 alpha_{a}： ①外齒輪 alpha_{a1} = arccos（ d_{b1} / d_{a1} ） ②內齒輪 alpha_{a2} = arccos（ d_{b2} / d_{a2} ）

（14）重合度 varepsilon ：

①端面重合度 varepsilon_{alpha} ：varepsilon_{alpha} = （1/（2 pi ））[ z_{1} （tan alpha_{at1} – tan alpha_{t} ） – z_{2} （tan alpha_{at2} – tan alpha_{t} ）]

②縱向重合度 varepsilon_{beta}： varepsilon_{beta} = bsin beta /（ pi m_{n} ）

③重合度 varepsilon ：varepsilon = varepsilon_{alpha} + varepsilon_{beta}

（15）當量齒數 z_{v}： z_{v} = z/ cos^{3} beta