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上一節我們學習瞭矩陣的加法、數與矩陣相乘以及矩陣與矩陣相乘，這一節我們學習剩餘的兩個運算：矩陣的轉置以及方陣的行列式。
4、矩陣的轉置
矩陣的轉置和行列式的轉置是一樣的規則，我們來看一下轉置矩陣的定義。
定義5 把矩陣 A 的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做 A 的轉置矩陣，記作 A^T 。此時 A^T 中的 (i,j) 元，正是 A 中的 (j,i) 元。
例如矩陣
的轉置矩陣為
矩陣的轉置也是一種運算，滿足下述運算規律（假設運算都是可行的）：
- (A^T)^T=A
- (A+B)^T=A^T+B^T
- (lambda A)^T=lambda A^T
- (AB)^T=B^TA^T
下面證明一下 (AB)^ T=B^TA^T :
設 A=(a_{ij})_{mtimes s} 、 B=(b_{ij})_{stimes n} ，記 AB=C=(c_{ij})_{mtimes n} ， (AB)^T=C^T=D=(d_{ij})_{ntimes m} ， B^TA^T=E=(e_{ij})_{ntimes m} ，於是按矩陣乘法的定義，有
c_{ji}=sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，
所以 d_{ij}=c_{ji}=sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，
而 B^T 的第 i 行為 (b_{1i},b_{2i},…,b_{si}) ， A^T 的第 j 列為 (a_{j1},a_{j2},…,a_{js}) ，因此
e_{ij}=sum_{k=1}^{s}{b_{ki}a_{jk}}=sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，所以 d_{ij}=e_{ij} ,又由於 D 和 E 都為 ntimes m 矩陣，故 D=E ，
亦即 (AB)^ T=B^TA^T 。
設 A 為n階方陣，如果滿足 A^T=A ，即 a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,…,n) ，那麼 A 稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣，對稱矩陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸對應相等。
5、方陣的行列式
我們在第一章已經學習瞭行列式的概念瞭，下面我們來看一下方陣的行列式的定義：
定義6 由n階方陣 A 的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣 A 的行列式，記作 det(A) 或 left| A right| 。
由 A 確定 left| A right| 的這個運算滿足下述運算規律（設 A、B 為n階方陣， lambda 為數）：
- left| A^T right|=left| A right| （由行列式的性質1，行列式與它的轉置行列式相等得到）
- left| lambda A right|={lambda}^{n}left| A right| （由數與矩陣相乘和行列式的性質3的推論，行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面得到）
- left| AB right|=left| A right|left| B right|
這裡有不知道行列式性質的同學，可以復習一下下面的文章：
下面我們來證明一下 left| AB right|=left| A right|left| B right| ：
且僅就 n=2 的情形寫出證明， ngeq3 的情形類似可證。設 A=(a_{ij}) ， B=(b_{ij}) 。記四階行列式
由行列式的按行（列）展開內容可知 D=left| A right|left| B right| 。具體內容可復習下列章節的引理部分，在下面章節中僅僅證明瞭行列式的第一行 a_{11} 不等於0，第一行其餘元素均為0的情況，上面的行列式 D 可根據證明方法自行轉換成下三角行列式，從而得出結果。
今在 D 中以 b_{11} 乘第1列， b_{21} 乘第2列都加到第3列上；再以 b_{12} 乘第1列， b_{22} 乘第2列都加到第4列上，即
其中二階矩陣 X=(x_{ij}) ，因 x_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} ，所以 X=AB ，所以 D=left| -E right|left| X right|=(-1)^2left| X right|=left| AB right| ，又因為 D=left| A right|left| B right| ，所以 left| AB right|=left| A right|left| B right| 。
對於n階矩陣 A、B ，一般來說 ABne BA ，但總有 left| AB right|=left| BA right| ，因為 left| BA right|=left| B right|left| A right|=left| A right|left| B right| ，所以 left| AB right|=left| BA right| 。
下面我們介紹一個重要概念：伴隨矩陣。
行列式 left| A right| 的各個元素的代數餘子式 A_{ij} 所構成的如下的矩陣
稱為矩陣 A 的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣。同時 AA^*=A^*A=left| A right|E
上述對應元素的代數餘子式不在和元素相對應的位置，而是轉置瞭一下，大傢註意，不要求錯伴隨矩陣。
證明：設 A=(a_{ij}) ，記 AA^*=(b_{ij}) ，則
故
類似地，記 A^*A=(c_{ij}) ，則
故
所以 AA^*=A^*A=left| A right|E .
這一節我們學習瞭矩陣的轉置以及方陣的行列式兩種運算，又介紹瞭伴隨矩陣的概念及性質。伴隨矩陣的概念及性質是下一節逆矩陣的基礎，我們將通過伴隨陣求出矩陣的逆矩陣。
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