引言

上文介紹瞭結構動力學中阻尼的基本概念，並給出瞭其完備形式及其缺陷。本文將介紹阻尼的幾種常見形式，以及各自的適用范圍。

討論前提一句，有關阻尼的名稱在不同場合比較混亂，尤其是阻尼和阻尼比經常混用，在應用的過程中需要特別小心處理。

單元阻尼(Element Damping)

針對彈簧-阻尼系統，或者說彈簧單元，我們可以建立單元阻尼。這類阻尼可以說是我們最為熟悉的阻尼形式；但在動力學分析中，它有很多局限性，並且不是最常用的形式，後文會對其做比較詳細的討論。

對於單向彈簧，彈簧通過剛度k和阻尼c描述，這就是最基本的單元阻尼模型，也非常容易理解；相應地，彈簧阻尼系統的阻尼模型參數是相對容易測量的。

需要指出的是，使用這類阻尼，可以添加與速度平方相關的非線性項。

考慮更一般的單元，對於一個兩節點的單元，每個節點有6個自由度，阻尼矩陣則可通過12*12的方陣描述；這也是單元阻尼的一種形式；顯然，這類阻尼的參數測量是非常困難的，使用場合也比較少。

模態阻尼比(Modal Damping/Modal Damping Ratio)

先看一個單自由度彈簧-阻尼系統的自由振蕩：

我們把阻尼定義為一個周期衰減的比例；事實上，定義其按照指數衰減

對於小阻尼情況下，每個周期的衰減約為

這裡的阻尼比，與系統的固有頻率有關，因此系統動力學方程可改寫為：

對於多自由度系統，可通過模態疊加法解耦。

對於無阻尼系統，通過振型矩陣坐標變換可將多自由度系統解耦，實現多個單自由度系統的獨立求解，最後進行模態疊加。

對於小阻尼系統，我們同樣希望通過類似的方法進行分析。遺憾的是，對於通用的阻尼矩陣，它並不滿足類似質量和剛度矩陣的相關正交條件，即該方法是行不通的！

為瞭適應模態疊加法，我們設計一種阻尼的描述方法，假定阻尼矩陣可滿足正交條件，對應模態質量和模態剛度，解耦後的阻尼記為“模態阻尼”，類似阻尼比的計算，得到不同模態下的“模態阻尼比”。

不同的模態對應不同的模態阻尼比。

常值阻尼比(Constant Damping Ratio)

瞭解瞭模態阻尼比，常值阻尼比就容易理解瞭。

假設所有模態阻尼比都相同，為一個常值，這個常值就被稱為“常值阻尼比”或“結構阻尼比”；結構動力學中應用最廣泛的就是此種阻尼形式，通常取值0.01-0.05。

材料常值阻尼比(Constant Material Damping Coefficient/Ratio)

材料內部由於微觀晶體微粒之間的摩擦而產生出宏觀的能量消耗，是材料阻尼產生的原因。每個材料的常值阻尼比不同，可分別定義其材料常值阻尼比。

材料結構阻尼系數(Material Structure Damping Coefficient)

這裡命名有點混亂，材料結構阻尼系數就是可以定義不同頻率下材料的阻尼系數，取值為常值阻尼比的2.0倍。

瑞利阻尼(Rayleigh Damping)

瑞利阻尼也被稱為Alpha-Beta阻尼，同樣是一種設計出來的阻尼。

與模態阻尼比類似，為瞭適應模態疊加法，假定阻尼矩陣可滿足正交條件。考慮到振型關於質量矩陣和剛度矩陣是正交的，我們令阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合。

可以證明模態阻尼比為：

阻尼系數對系統的影響，讀者可以從上述表達式中自行分析。

實際上，在大多數工程問題中，質量矩陣的阻尼系數常常設定為0.0，則Beta阻尼與模態阻尼比的關系為：

瑞利阻尼的設定在數學形式上比較簡潔，但物理意義並不明確，測量非常困難，常常通過模態阻尼比或常值阻尼比反算得到。

材料阻尼(Material -Dependent Damping)

不糾結命名，這裡的材料阻尼就是不同材料的Alpha-Beta阻尼。

最後

本文羅列瞭一些常見的阻尼形式，其他一些非線性阻尼以及陀螺效應(形式上與阻尼類似)不在這裡討論。下文將對阻尼的應用場景進行討論。

-完-

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