0. 寫在開頭
更多數學問題可以私信小秦為你解決。
文章簡介：一篇能夠讓你清楚明白函數單調性含義，愉快應用函數單調性解決問題的文章。
文章思路介紹：單調性的一個簡單作用->定義域隻有兩個數時的單調性->定義域為一個區間的單調性->單調性的局部性表達->回顧小學、初中就該認識的比較兩數大小的方法->證明函數單調性
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1. 簡述單調性的作用
在介紹如何理解函數單調性之前，你或許期望先知道這個東西到底有什麼用，瞭解到作用之後也許你會有更進一步學習單調性的想法。所以，小秦在這先為你簡單介紹單調性特別基礎的一個應用。
比較兩數的相對大小這樣的事情，可以說，我們從小學就開始瞭，甚至你在學前教育中就已經有接觸瞭。例如，我們總是用大的數減小的數，這樣的數我們總能掰掰手指就可以算得出來。但這樣的數總基於可以完全用0-9這10個數字展開的，在我的另一篇文章《與生俱來的的一雙數學之手》[1]有詳細介紹，可供參考。
現在，我們遇見瞭這樣的兩個數 sqrt {10},sqrt{7} ，此時你再也無法單純地用一串0-9的數以及位級的概念來表示它，也就不能通過掰手指的方式算出具體大小。簡單來說，直接看這兩個數，無法像看10和7那樣，比較二者的相對大小。
怎麼辦呢？現在你無需完全明白單調遞增是什麼含義，隻需瞭解到，是一種大小對應關系即可。如下闡述，現在有7，10這兩個數，它兩在對應法則 f(x)=sqrt{x} 的作用下得到 sqrt{7},sqrt{10} ，隻要你知道 f(x)=sqrt{x} 在這兩數之間是單調遞增，那麼你隻需要比較7，10之間的相對大小，也就確定瞭 sqrt{7},sqrt{10} 之間的相對大小，無需理會 sqrt{7},sqrt{10} 具體是多少。也就是說，通過函數的單調性，我們把函數值之間的比較問題，轉化為自變量之間的大小比較問題。
也許你會說：“利用不等式性質，我還可以作平方操作，不必借助函數單調性”。實際上，這樣的操作也是可以用函數單調性解釋的，在介紹瞭函數單調性之後，小秦還會繼續為大傢介紹利用函數單調性理解不等式性質。
由此，你應當感受到，借助函數單調性，我們可以比較很復雜的數，更為一般地講，可以解決一些復雜的不等式問題。
現在，你應該對理解清楚什麼是函數單調性，如何證明函數單調性有瞭那麼一丟丟的興趣，如果你想比較輕松愉快地解決一些不等式問題的話。
2. 理解函數單調性
為瞭文章篇幅不至於太長，這裡隻介紹單調遞增的情況，讀者類比理解單調遞減。
先看這樣的函數 f ，其定義域隻有兩個數 x_1,x_2 ，如果 x_1lt x_2 ，且有 f(x_1)lt f(x_2) ，則稱 f 在 x_1,x_2 兩數之間是單調遞增的。
什麼意思呢？我們已經認識到函數說通俗點就是一種對應關系，例如 x_1 對應著 f(x_1) 。所以，可以這麼理解單調遞增，如果 x_1,x_2 是從小到大排列，而且它們對應的數 f(x_1),f(x_2) 也是從小到大排列的，那麼就稱 f 在 x_1,x_2 兩數之間是單調遞增的。或者說，如果 x_1,x_2 是從大到小排列的，而且它們對應的數 f(x_1),f(x_2) 也是從大到小排列的，就稱 f 在 x_1,x_2 兩數之間是單調遞增的。
發現什麼瞭呢？所謂單調遞增，就是說，自變量大小變化趨勢，其對應的函數值大小變化趨勢，二者是一樣的。
也就是說，單調遞增，不是單純地看 x 的變化，也不是單純地看 f(x) 的變化。
其實，也許你會表示質疑，前面我們的應用之一講瞭，隻要知道自變量的相對大小，以及確定函數法則的單調性，就可以不再理會函數值，從而得出自變量對應的函數值之間的大小。可是，在單調性定義中，卻涉及瞭函數值，這不就意味著我如果要確定函數單調性還是需要知道函數值嗎？那意義又何在呢？這一點，希望讀者不要著急，實際上，在後續介紹求證函數單調性時，這個問題我們又有瞭巧妙的處理。
現在，繼續回到我們對函數單調性的理解這個話題。
我們前面講的是，一個函數的定義域隻有兩個數的情況，現在我們把它推廣到一個區間的情況。不難明白，對於一個區間上的實數，早已有瞭從大到小，或者從小到大的排列。於是，討論單調性剩下的內容也就隻是定義域中對應的函數值的排列情況是否與定義域是一致的。
那如何描述對應的函數值的比較呢？非常容易想到的，就是和前面一樣，從定義域區間中取出兩個數來，在函數 f(x) 作用下得到 f(x_1),f(x_2) ，比較二者的相對大小。需要註意，我們現在討論的是一個區間，而不是單純的兩個數，所以需要保證這個區間的每一個數對應的函數值都和區間中的其它數對應的函數值都進行瞭比較。這個想法是對的，但是表達上很累贅，我們知道一個區間可能存在無窮多個數，這意味著這樣的表達要寫無窮次。例如，我們有區間 [3,4] ，問定義在此區間上的 x^2 的單調性怎麼樣呢？你需要這麼跟人說：
因為 3<3.1 且 3^2<3.1^2 ， 3<3.01 且 3^2<3.01^2 ， 3<3.001 且 3^2<3.001^2 。。。。。。如此下去，保證區間的每一個數，都和區間的其它數都進行瞭比較，而且它們對應的函數值之間的大小關系與其對應的自變量的大小關系是一致的。
針對這樣的問題，怎麼辦呢？我們引入瞭 forall 這個符號使得我們的表達更加的簡潔。這個符號表示任意，換句話說一個區間中的每個數都進行操作。記 D表示某個區間，那麼如何理解下面的符號呢 forall x_1,x_2in D ？就是說，從區間 D 中任意地取兩個數，也就是說 x_1 可以表示 D 中的每一個數， x_2 也可以表示 D 中的每一個數，至於說 x_1,x_2 之間是怎樣的大小關系？在這些符號表達下，並無交代，也就是說 x_1<x_2,x_1=x_2,x_1>x_2 都是有可能的。
而我們說，討論單調性，必需確定自變量之間的相對大小。所以，我們還需要再添加條件，限定取出來的數的相對大小。 forall x_1,x_2in D且x_1lt x_2 ，前面限定兩個變量的在哪個區間取的，後面限定兩個變量之間的大小關系。
前面我們還瞭解到，討論單調性，不能單純地看自變量的相對大小，也不能看函數值之間的相對大小。所以，隻是交代自變量的相對大小，或者隻是交代函數值之間的相對大小，都是不對的。顯然，我們還要補充，函數值之間的大小比較。
forall x_1,x_2in D,且x_1lt x_2 ，且f(x_1)lt f(x_2)
這樣，我們就得到函數在區間 D 上單調遞增的情況啦。這些符號的表達含義，從定義域中任意取出兩個數 x_1,x_2 進行從小到大的排列，如果它們對應 f(x_1),f(x_2) 的大小關系是和 x_1,x_2 之間的大小關系是一樣的，也就是排列順序是一樣的，那麼就說這個函數在這個區間上是單調遞增的。請註意，我們這裡采用瞭 forall 就已經保證每個數都進行瞭比較。
現在，我們還有一個問題，一個函數在其整個定義域上，可能不在整個區間上總是單調遞增，或者單調遞減的。那怎麼表達呢？我們截取局部區間進行表達。這樣，我們得到瞭完整的函數單調遞增的定義瞭。
設 f(x) 是定義在區間 D 上的函數， Isub D ，現取 forall x_1,x_2且x_1lt x_2 ，若有 f(x_1)lt f(x_2) 則稱函數 f(x) 在區間 I 上單調遞增。
3. 證明函數單調性
通常，我們總是有辦法先確定自變量之間的相對大小，所以在證明函數單調性的時候，取出的自變量總是可以先確定的，於是剩下的工作，根據單調性的定義，就是比較自變量對應的函數值之間的相對大小瞭。
函數值實質上，它還是實數，對於兩個實數的大小比較，從小學的時候開始，我們就已經學習瞭一種非常基礎的比較方法——作差法。對於兩個實數 a,b ，如果 a-b>0 則 a>b ；如果 a-b<0 ，則 a<b ；如果 a-b=0 ，則 a=b 。也就是作差的兩個數與0的大小關系，我們可以得知兩數之間的相對大小。
現在問題就來瞭，雖然我們前面引入 forall 簡潔地表達任意區間兩兩之間的大小比較，但實際操作上，在比較函數值的相對大小時，不還是照樣需要知道二者的相對大小，無限次地比較下去嗎？
在函數概念的課程中，我們已經認識到，自變量的對應的函數值是什麼，可以通過對應法則或者。也就是說，定義域及對應法則確定瞭，函數也就確定瞭。
另一方面，在函數的表達課程中，我們已經認識到可以利用解析式，表達對應法則。所以，證明函數單調性，在實際操作中，如果我們確定瞭函數的解析式表達，那麼一旦確定自變量，將自變量代入到解析式中，便隨之確定瞭對應的函數值，如果自變量是任意取的，那也就保證取得所有的函數值。
於是，在作差操作上，我們有 f(x_1)-f(x_2) ，註意，本質意義上是兩個數作差，但現在我們進行等價代換，讓兩個式子作差，得到的是一個式子，顯然是一個多項式。
對於一個式子，要和0比較，由初中的因式分解給我們帶來的思想就可以認識到，如果我們能夠把式子分解成一個單項式，判斷這個單項式的-1是幾次方，便能夠得知這個式子與0之間的關系。例如 x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2) 這個式子，如果我們知道 x_1,x_2 的正負號以及相對大小，就可以得出因子 (x_1+x_2),(x_1-x_2) 的正負號，那麼非常容易得知單項式 (x_1+x_2)(x_1-x_2) 與0之間的大小關系。
而在分解的過程中，我們已知相對大小的就是 x_1,x_2 ，以及一些具體用0-9這些阿拉伯數字表示的實數，所以我們分解總是朝著 x_1+x_2,x_1-x_2 這樣直接能夠得出正負號的方向走。
後面，有瞭一定熟練度之後，我們還可以借助已經證明的函數。總之，大的方向，就分解而言，我們一定要能夠明顯得出每個因子的大小情況，特別建議，在變換式子的過程中，不要改變原來多項式的正負號。
更多證明函數單調性的方式，可以參考我的另一篇文章《證明函數單調性的方法》[2]
有關因式分解的內容，可以參考《因式分解基礎》[3]，《因式分解方法薈萃》[4]
- 例題1
證明函數 f(x)=sqrt{x} 的單調性
解析：
forall x_1, x_2in (0,+infty) 且 x_1lt x_2
此時發現問題 sqrt{x_1}-sqrt{x_2} 很難進行因式分解，怎麼辦呢？
由前面的介紹，我們就可以認識到，最終目的就是知道 f(x_1)-f(x_2) 變換成某一個單項式，看這個單項式的符號即可知道與0的關系，從而知道 f(x_1),f(x_2) 的相對大小
現在，基於前面的建議，我們進一步指出，可以把 f(x_1)-f(x_2) 看作一個單項式 (f(x_1)-f(x_2))
將這個單項式乘以某一個不改變當前單項式正負號的因子，對式子進行化簡。方向與前面類似的，朝著我們能夠指出因子符號的方向走。
現在對於式子 sqrt{x_1}-sqrt{x_2} ，顯然我們要朝著 x_1-x_2 的方向走，顯然這是可行的
因為我們非常容易想到利用平方差公式，想到可以乘以這樣的因子 sqrt{x_1}+sqrt{x_2}
於是，我們如下解答過程。
證明：
forall x_1, x_2in (0,+infty) 且 x_1lt x_2
即x_1-x_2lt 0
那麼 x_1-x_2=(sqrt{x_1}-sqrt{x_2})(sqrt{x_1}+sqrt{x_2})<0
又 sqrt{x_1}+sqrt{x_2}>0 ，所以 sqrt{x_1}-sqrt{x_2}lt 0
即 sqrt{x_1}lt sqrt{x_2}
故f(x)=sqrt{x}是單調遞增的。
- 例題2
證明 f(x)=x^2 的單調性
證明
forall x_1,x_2in R且x_1lt x_2 ，即 x_1- x_2lt 0
f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)
我們如下分類討論
當 x_1lt x_2lt 0 時，也就是自變量的符號都是負號時， x_1+x_2lt 0
因此 f(x_1)-f(x_2)gt 0 ，此時說明函數在 (-infty, 0) 上單調遞減。（因為這裡我們先進一步把變量取值依舊是任意的，但范圍限定在這個范圍上瞭）
當 0lt x_1lt x_2 時， x_1+x_2>0
因此 f(x_1)-f(x_2)lt 0 ，此時說明函數在 (0,+infty) 上單調遞增。
當 x_1lt 0lt x_2 時， x_1+x_2 與0之間的關系是不確定的，於是 f(x_1)-f(x_2) 與0之間的關系是不確定的，由此無法確定函數在 R 上是單調遞增還是單調遞減。
綜上，函數在在 (0,+infty) 上單調遞增，在 (-infty, 0) 上單調遞減，在 R 上的不具有單調性。
參考
- ^與生俱來的的一雙數學之手
- ^證明函數單調性的方法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/550574852
- ^因式分解基礎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/550143139
- ^因式分解方法薈萃
