臨界點 critial point

• f: mathbb{R} to mathbb{R} ： 不可微或者導數為0的點
• f: mathbb {C} to mathbb{C} : 不是全純（？）或者導數等於0
• f: mathbb {R}^n to mathbb{R} : 梯度沒有定義或者等於0
• f: mathbb {R}^m to mathbb{R}^n : Jacobian的秩 不是最大的

臨界點是我們用來求極值可能出現的點。

駐點 stationary point

駐點(stationary point) 是指的 f: mathbb{R} to mathbb{R} 情況下的臨界點，看駐點的定義：

left.frac{dy}{dx}right|_p=0 , \

之所以翻譯成 駐點(stationary point) 我想應該是正因為這一點導數為0， 微小的 x 變化並不帶來 y 的變化，所以叫 stationary point，翻譯成駐點也合理。

拐點 inflection point

inflect 本身就有彎曲、改變的意思。

最近大傢都在講的‘拐點’，英文也可以是 inflection、 flex。

說起來這個 convex 和 concave 也是有一點令人窒息的：

convex 凸函數

{displaystyle f((1-alpha )x+alpha y)leq (1-alpha )f(x)+alpha f(y)} \

concave 凹函數：

{displaystyle f((1-alpha )x+alpha y)geq (1-alpha )f(x)+alpha f(y)} \

我要窒息瞭，我還是學別人來這樣記吧， convex v , concave/cave 洞穴

或者我來記 convex下凸， concave上凸

紅色的點是 駐點/臨界點 stationary points/critial points, 藍色的點是 拐點 inflection points.

圖片來自wikipedia

inflection point ：

圖片來自wikipedia

拐點並不是不連續，畢竟滿足瞭曲線的定義都 C^0 連續， 上面這個曲線是 正弦曲線，是一個 C^infty 連續的。它隻是一種 convex/concave 的變化。

鞍點 saddle point

鞍點的英文是 saddle point 或者 minmax point.

鞍點來自於雙曲面，比如下圖 f(x,y) = x^2 – y^2 , 在(0, 0) 是一個臨界點，但它並不是極值點，長得像馬鞍的形狀，所以叫鞍點。

圖片來自wikipedia

比如 y = x^3 在 (0, 0） 處即是駐點也是拐點。

頂點（曲線）vertex (curve)

強調這個頂點是屬於曲線的

考慮拋物線 y = ax^2 + bx + c

它的有符號的曲率是：

{displaystyle k(x)={frac {2a}{left(1+(2ax+b)^{2}right)^{frac {3}{2}}}}.} \

它的曲率極值點在 x = -b/2a 處取到，這個點是它的駐點（導數也為0），同時這個點也是它的頂點。

參考： 大量參考 wikipedia