一、利息

我們都知道利息，利息=本金*利率*時間。

利息有兩種計算方式：一種是單利計算，一種是復利計算。

這兩種計算方式的唯一區別就是利息要不要作為下一個計息周期的本金，再參與計算利息。

這個特別簡單，舉個例子：

假如你存10000元到銀行，存三年，存款的年利率是5%，三年後全部取出來，可以得到本金和利息一共多少錢？

我們分別按照單利和復利計算。（過程寫的很詳細，可以不看，直接看後面的結論）

按單利計算：

第1年的利息=10000*0.05=500（元）

第2年的利息=10000*0.05=500（元）

第3年的利息=10000*0.05=500（元）

3年的總利息=本金*利率*期數

=10000*0.05*3

=1500（元）

3年的本息和=本金+總利息

=本金+本金*利率*期數

=本金*（1+利率*期數）

=10000*(1+0.05*3)

=11500（元）

按復利計算：

第1年的利息=10000*0.05

=500（元）

第2年的利息=(10000+10000*0.05)*0.05

=10000*(1+0.05)*0.05 本金*（1+利率）*利率

=525（元）

第3年的利息=（（10000+10000*0.05+10000*（1+0.05）*0.05）*0.05

=(10000*(1+0.05)+10000*(1+0.05)*0.05)*0.05

=10000*(1+0.05)^2*0.05 本金*（1+利率）^2*利率

=551.25（元）

3年的總利息=500+525+551.25=1576.25（元）

3年的本息和=本金+總利息

=本金+本金*利率+本金*（1+利率）*利率+本金*（1+利率）^2*利率

=本金*（1+利率）^期數

=10000*(1+0.05)^3=11576.25

通過這個例題，我們可以看出單利和復利計息的本息和公式。

1.按照單利計算：n年後的本息和=本金*（1+利率*期數）

2.按照復利計算：n年後的本息和=本金*（1+利率）^期數

復利就是我們日常生活中說的“利滾利”，從上面公式中可以看出，復利呈指數增長。

復利的力量巨大無窮，所以股神巴菲特說他一生99%的財富，是在50歲以後獲得的。我想多數人都看過下面這張圖片吧，這就是復利的力量。

二、貨幣的時間價值

舉個例子，就知道什麼是貨幣的時間價值瞭。

今天存10000元就是10000元，一年後，兩年後，三年後……這10000元能取出多少錢？

反過來，一年後、或者兩年後、或者三年後……需要取出10000元，今天需要存多少錢？

就這麼簡單，貨幣的時間價值就解決這個問題。

現在的錢的價值叫做現值，英語是present value，所以現值用大寫字母P表示。

N年後的錢的價值叫做終值，英語是future value，所以終值用大寫字母F表示。

雖然今天的10000元和n年後的10000元都是同一筆錢，但是因為復利的存在，站在不同的時間點來看，卻有很大的差異，時間越長，差異越大。（財管中現值和終值之間都是用復利計算）

1.復利現值和復利終值

結合上面例子，我們一起來看一下：

現值就是本金，用P表示，終值就是本息和，用F表示，利率用i表示，期限用n表示。

復利終值F=P×（1+i）^n

變形，P=F/（1+i）^n=F×（1+i）^(-n)

復利現值P==F×（1+i）^(-n)

可以看出，復利現值系數和復利終值系數互為倒數。

F=P×（1+i）^n，這個公式是用來計算終值的，其中的（1+i）^n稱為復利終值系數，用符號（F/P，i，n）表示，即（F/P，i，n）=（1+i）^n。

復利終值F=P×（F/P，i，n）。

P=F×（1+i）^(-n)，這個公式是用來計算現值的，其中的（1+i）^(-n)稱為復利現值系數，用符號（P/F，i，n）表示，即（P/F，i，n）=（1+i）^(-n)。

復利現值P=F×（P/F，i，n）。

復利終值系數是用來計算終值的，所以，符號中F在前面。

復利現值系數是用來計算現值的，所以，符號中P在前面。

這裡需要註意，這兩個公式中，無論計算終值還是現值，都是乘以系數，不是除以系數。

本來很簡單的計算，為什麼還要用符號來表示，變得這麼復雜？

首先，這兩個符號是有含義的，（F/P，i，n）表示利率為i，期限為n的終值系數，（P/F，i，n）表示利率為i，期限為n的現值系數。

其次，這兩個系數都不需要我們計算，專門分別有一張表，直接查表就可以查到系數值，考試時會給這些系數表。

也就是說，隻要我們知道利率i和期限n，通過查表，已知現值P就可以算出終值F，已知終值F就可以算出現值P。

考試時一定會多次查表，接下來我們來看一下，復利現值系數和終值系數長什麼樣：

我截取瞭復利現值系數表的一部分：

我隨便選瞭一個數，利率為5%，期數為8期，對應的現值系數為0.6768，也就是（P/F，5%，8）=0.6768。

意思就是8年（或其他期間）後要取出1元錢，利率為5%，現值需要存入0.6768元。如果8年後要取出F元，現值需要存入P=F*（P/F，5%，8）=0.6768*F元。

我又截取瞭復利終值系數表的一部分：

我隨便選瞭一個數，利率為9%，期數為10期，對應的終值系數為2.3674，也就是（F/P，9%，10）=2.3674。

意思就是現在存入1元錢，利率為9%，時間是10年（或者其他期間），10年後的終值就變成瞭2.3674元。如果現在存入P元，10年後的終值F=P*（F/P，9%，10）=2.3674*P元。

2.年金現值和年金終值

按照規定，公司會為員工購買五險一金，這個“一金”是指住房公積金，有聽過有的公司會為員工購買五險兩金嗎？這個“兩斤”中除瞭住房公積金外，還有一金就是年金。

這種年金是企業年金，作為養老保險的一種補充，就是每個月從員工工資中扣除一部分，等退休後，就可以額外領到一筆養老金。

我們在財管中要學習的年金和這個差不多。

年金，就是每隔相同的時間，收付相同金額的款項，逐漸累積的過程。（定期定額）

比如，每月10日，固定繳納100元；或者反過來，每月10日，固定收取100元。

我們日常生活中，購物分期付款、房貸按揭還款、企業年金等都是典型的年金。

每期收款或付款的固定金額就稱為年金，估計年金產生時的間隔期是一年，所以取名為年金（每年收付的金額），年金的英語是Annuity，所以用A表示年金。

根據不同的收付款的時間起點，可以將年金分為普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金。

這個分類的名字看起來很高大上，其實很簡單，不用記，特別好理解，隻需要理解普通年金，其他幾種用初中數學基礎就可以輕易推出來。

入門階段我們知道什麼是普通年金就足夠瞭。

普通年金，是從第一期開始，每期期末收款或付款的年金。（前提一定是定期定額）

這裡的關鍵點是收付款時間的起點，普通年金的起點是第一期期末，也就是開始時不用收付款的，相當於有一個空檔期，這是普通年金與其他幾類年金的區別。

財管就是有很多計算式子，如果學習時都當成公式來記憶，根本記不住，就算記住瞭，稍不註意就混淆瞭，如果不會推導的話，那就完蛋瞭。

（1）年金終值

從現在開始，每年年末存A元，存n年，年利率為i，第n年年末可以取出多少錢？

第1年年末存的A元，在第n年年末時，復利終值=A*（1+i）^（n-1）

第2年年末存的A元，在第n年年末時，復利終值=A*（1+i）^（n-2）

第3年年末存的A元，在第n年年末時，復利終值=A*（1+i）^（n-3）

……

第n-2年年末（倒數第3年年末）存的A元，在第n年年末時，復利終值=A*（1+i）^2

第n-1年年末（倒數第2年年末）存的A元，在第n年年末時，復利終值=A*（1+i）

第n年年末（最後一年年末）存的A元，在第n年年末時，復利終值=A

這裡有幾個點需要註意：

1）第1年年末存的A元，在第n年年末，隻經過瞭n-1年，因為第一年是年末才存入的，第一年就不能計算在內。

2）第n年年末存入的A元，在第n年年末當然是A元，因為是同一時間點，價值沒變。

3）單獨看每年年末存入的A元，在第n年年末的終值，就是A元在對應年限數的復利終值。

把每一年存入的年金A在第n年末的復利終值加起來，就是所有的年金終值。

年金終值F=A+A*（1+i）+A*（1+i）^2+……+A*（1+i）^（n-3）+A*（1+i）^（n-2）+A*（1+i）^（n-1）

求和化簡後，

年金終值F=A*[（1+i）^n-1]/i

這個公式求和的過程，就是高中學的等比數列求和，感興趣可以自己推導一下。

公式中的[（1+i）^n-1]/i稱為年金終值系數，用符號（F/A，i，n）表示，即（F/A，i，n）=[（1+i）^n-1]/i。

年金終值F=A*（F/A，i，n）

年金終值系數（F/A，i，n）也不用自己計算，專門有一張表可以查。

（2）年金現值

從現在開始，每年年末取出A元，要保證可以取n年，年利率為i，現在應該存入多少錢？

第1年年末取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^（-1）

第2年年末取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^（-2）

第3年年末取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^（-3）

……

第n-2年年末（倒數第3年年末）取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^-（n-2）

第n-1年年末（倒數第2年年末）取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^-（n-1）

第n年年末（最後一年年末）取出的A元，在現在這個時點，復利現值=A*（1+i）^(-n)

這裡有幾個點需要註意：

1）第1年年末取出的A元，從現在這個時點開始計算，剛好過瞭1年，所以現值P=A/（1+i）=A*（1+i）^(-1)。

2）第n年年末取出的A元，從現在這個時點開始計算，剛好過瞭n年，所以現值P=A/（1+i）^n=A*（1+i）^(-n)。

3）單獨看每年年末取出的A元，在現在這個時點的現值，就是A元在對應年限數的復利現值。

把每一年取出的年金A元在現在這個時點的復利現值加起來，就是所有的年金現值。

年金現值P=A*（1+i）^(-1)+A*（1+i）^(-2)+…+A*（1+i）^（-n）

求和化簡後，

年金現值P=A*[1-（1+i）^（-n）]/i

這個公式求和的過程，也是高中學的等比數列求和，感興趣可以自己推導一下。

公式中的[1-（1+i）^（-n）]/i稱為年金現值系數，用符號（P/A，i，n）表示，即（P/A，i，n）=[1-（1+i）^（-n）]/i。

年金現值F=A*（P/A，i，n）

年金現值系數（P/A，i，n）也是專門有一張表可以查，不用計算。

從計算過程可以看出來，年金現值系數和年金終值系數，不是互為倒數的關系。

上面講瞭復利終值、復利現值和年金終值、年金現值。看到這裡可能有些頭暈目眩，前面的所有過程，除瞭年金現值和終值求和的過程不用計算一遍，其他所有的過程必須自己跟著動手計算一遍，把每一步都想清楚弄明白，這樣你一定不會覺得難。

我們來總結一下：

1.復利現值、復利終值和年金現值、年金終值的區別

2.復利現值、復利終值和年金現值、年金終值的計算

系數不用記，記住符號和帶符號的公式就可以，結合前面的理解，多熟悉幾次，很容易就可以分清。

具體在做題時，系數都不用自己計算，考試會給所有的系數表，隻要弄清楚期限n是多少，利率i是多少，直接查表就可以得到結果。

第三章到此結束。

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