作者：王泰翔數學天路的朝聖者
本篇我們重點介紹德國數學傢萊佈尼茨所做的關於微積分的工作，尤其是對微分概念的理解，其間我們也會穿插著與牛頓思想諸多比較的內容。在某些方面他們的看法是相似的，在某些方面又是不同的。
1、微積分方法在萊佈尼茨早期，致力於切線問題和求積問題，其中最有用的模型便是微分三角形（或特征三角形），即一種從中抽去所有量的大小，但仍保留三角形形式的三角形。萊佈尼茨使用微分三角形是受到大約1678年在帕斯卡的《關於四分之一圓周的正弦論著》中圖形的啟發（如圖一）。並從中認識到帕斯卡所不曾認識到的是：求曲線的切線依賴於縱坐標與橫坐標的差值（當這些差值變成無限小時）之比；而求積依賴於在橫坐標的無限小區間上的縱坐標之和或無限薄矩形之和。而且這種求和求差的運算是互逆的。同樣，巴羅在某種意義上也理解到瞭這一點，但他從沒有把它們發展到統一的運算方法中。
圖一
正象牛頓把流數法則作為微積分方法的基礎一樣，萊佈尼茨也認為在他的“差與和”的微積分中求“差”的運算是基本的。一般說來，微分法是基本運算，積分法則隻是被看作微分法之逆。牛頓和萊佈尼茨在定義積分（並非求積分）時意見頗不一致。牛頓定義流量為給定的流數所生成的量——即以給定的量作為其流數的那個量，或者說就是流數之逆。他把重點放在不定積分上，在《流數法》和《求積術》中都有相當於積分表的內容。萊佈尼茨則把積分定義為一個量的所有的值的和，或無窮多個無限窄的矩形的和，或者如近代數學所表示的那樣，定義為某個特征和的極限。在初等微積分中，這兩種觀點長期共存著，這裡有兩種積分：不定積分和定積分。我們現在有時把前者稱為“牛頓意義下的積分”，而把後者稱為“萊佈尼茨意義下的積分”，它們的歷史根源即使現在還是生動地浮現在我們面前。但是不應過分地強調這種區分，因為牛頓和萊佈尼茨都很清楚積分的這兩個方面。
早期，萊佈尼茨覺得微積分作為一種運算方式，是不用解釋而自明的。他不想如帕斯卡那樣，把無限小看作神秘之物，也不用幾何直觀去加以澄清。如他自己所說的，他僅僅訴諸智力，更強調這種方法的運算性質。他相信，假如他清楚地給出瞭適當的運算規則，並且把它們應用得恰當，就一定會得到某種合理的、正確的結果，無論在所用符號的含義上有多大疑問。萊佈尼茨敢於發表他的作品，為瞭普及他的方法，他把所有的運算法則，即使是最簡單的，都清楚地列舉出來。這一點倒與牛頓不同，牛頓似乎由於這樣或那樣的原因而遲遲未發表他的著作。盡管這樣，由於同時代人的糾纏不休，他還是要不時地去試圖進一步闡明他的微積分的基本概念。在這方面，他闡述得很不清楚，而且前後不一致。2、微積分概念萊佈尼茨的工作中自始至終用到一個原理：在包括不同階的微分的關系中，隻要保留最低階的微分就行瞭，因為所有其它的微分相對於它們來說是無限小。費爾馬、巴羅和牛頓隻用一階無限小量，萊佈尼茨卻設想瞭無窮多的階數，這種設想在某種意義上對應於他的哲學圖式中單子系統的無窮秩數。卡爾·波耶在《微積分概念發展史》裡評論到，“然而，他在定義一階微分時還有些遊移不定，對高階微分則更遠沒有給出令人滿意的說明”。萊佈尼茨在他的第一次發表的論文中，對一階微分給出瞭唯一的一個使人滿意的定義。他說，橫坐標x的微分dx是個任意量，而縱坐標y的微分dy則定義為它與dx之比等於縱坐標與次切距之比的那個量。在萊佈尼茨的上述定義中，微分是有限的、確定的量。萊佈尼茨的這個定義在邏輯上要先假定切線已有一合適的定義。萊佈尼茨把切線定義為連接曲線上無限接近的兩點的直線，這段無限小的距離可以用兩個相鄰變量值之間的微分或差來表示。在這裡，萊佈尼茨並沒有打算回避無限小量。萊佈尼茨的全部工作都是以微分作為基點的。而柯西的微分有賴於導數概念，對切線和導數都得用極限去解釋。這是柯西不同於萊佈尼茨的地方。而且近代數學則跟柯西一樣，把這個概念用導數來定義使之從屬於極限概念。這種觀點上的轉變，原因在於萊佈尼茨等人想給微分下一個令人滿意的不依賴於極限方法的定義，結果卻失敗瞭。一階微分究竟是什麼，萊佈尼茨並沒有講清楚，而隻是說滿足上述那種關系。他雖然一般總說微分是無限小，但又常用無可比較地小的說法。他認為，“倘使不想用無限小量的話，也可以代之以假定：它們小到這種程度，當你為瞭使它們成為無可比較的，並使所產生的相差量根本無足輕重或小於任意給定的量，而確認它們該多麼小時，它們就有多麼小”。萊佈尼茨想要給出令人滿意的高階微分定義的努力，也沒有得到成功。他說，ddx或d2 x對於dx而言就象dx對於x，沒有區分自變量和因變量的微分。與此類似地，他又說，如果dx:x=dh:a，其中a是常數，dh是常數微分，則d2x:dx=dh:a或d2x:x=dh2:a2；一般地，dex:x=dhe:ae，其中e甚至可以是分數。或許是由於意識到這一定義不能一直適用，他後來給出瞭一個幾何的解釋，它雖然在敘述的精確性上有所欠缺，但能用導數來正確地加以解釋。已知任一曲線，設dx是每點上的一個給定的量，取dy使dy與dx之比等於縱坐標與次切距之比。如果對於曲線的每一點，我們在同一坐標軸中作一新的點，其縱坐標跟dy成比例，結果就得到一條新的曲線，它的微分就是原曲線的“微分的微分”，或者說“兩階微分”。一般說來，這個幾何解釋跟按比值畫出每一點而得到的曲線等價。兩階微分d2y由新曲線的導數所確定一一也即由原曲線的兩階導數所確定。不過正如我們上面所說，萊佈尼茨並不把導數作為出發點，所以不能認為他的上述講法作出瞭合適的dy的定義，而至多不過是用切線作出的dy的定義。在缺乏圓滿的定義的情況下，萊佈尼茨經常借助類比來說明他的無限小微分的實質。有時也借用牛頓的比喻，把他的微分說成一個量在一瞬間的增量或減量。他還援引霍佈斯的思想，說傾向對運動來說就好比點對空間或者1跟無限的關系。他認為無限小是對量的消失或萌生的研究，跟已形成的量截然不同。關於高階微分，他說既然點與線不同類，或者說不能相比，那末把點加到線上去就等於不加，因此他的方法中的高階微分也就同樣可以略去不計。牛頓在他的早期工作中用過無限小量的概念，後來才含糊其詞地否認瞭它，試圖根據有限差值的最初比和最終比——也就是說用比的極限來建立起流數的概念；至於萊佈尼茨，整個趨向卻正好相反。他從有限差值開始，由於他的微分方法運算的成功，在用他的無限小量概念時是很自信的；雖然似乎對其邏輯論據仍然存疑。究竟把微分看作確定量，還是看作不確定量，在這個問題上萊佈尼茨頗費躊躇，在他臨死前一兩年寫的《微分學的歷史和起源》一書中所提示的一種方法，也許就是再好不過的說明。為瞭不致把實際上不是無限小的量當作無限小量看待——這種介乎存在與不存在之間的中間物，萊佈尼茨稱之為虛數——他施展瞭一點手法，先用符號（d）x和（d）y表示有限的確定的差；然後，當計算結束後，再把它們換成不確定的無限小量即微分dx和dy，“作為一種虛構物”，因為，最後“dy:dx總能化成無可置疑地實在而確定的兩個量的比（d）y:（d）x”。這樣，一下子從確定量跳到不確定量，一下子又跳回來，到底根據何在，萊佈尼茨沒有說明白。看來也正因為如此，使他意識到瞭值得重視的並不是一個一個的微分，而隻是它們的比。同樣，牛頓也懂得，他的方法的意義在於流數的比，所以流數可以用具有相同比值的其它有限量來代替。極限概念在他們的工作中還不大明顯，可能是由於他們和當時的人們都往往把比作為兩數之商，而不是當作獨立的一個數。牛頓所著重的是比，而不是消失中的量的本身；但他沒能明確地給這個比下個定義。萊佈尼茨也認識到，重要的是微分的比，或者說微分間的關系。因此可以認為這些微分是它們的比等於縱坐標與次切距之比的任何有限量。不過，萊佈尼茨仍然保留瞭無限小的量並為之辯解說，如果誰要提出嚴格性的要求的話，那末他可以用比值相同的“確定量”去代替“不確定量”。可是正如牛頓沒有說清楚消失中的量之比究竟怎麼成為“最初比”或“最終比”，或者它們是怎樣發生聯系的，萊佈尼茨同樣也不能說明有限量到無限小量之間的轉化。萊佈尼茨承認，人們既不能證明也不能否定無限小量的存在。話雖如此，要對有限量到無限小量的轉化作出解釋時，他還是借助於一個叫作連續性原則的準哲學原理。萊佈尼茨對這一“公設”是這樣表達的：“在以某一目標作為結果的任何假想變化過程中，總允許制訂一個一般性的推理，使最終目標也可包含在內。”所以在他的微積分運算中“在通過合法的略去而使計算盡可能地簡化並化為非消失量之比以前，差是不假定為零的，最後我們才達到這一步，即把我們的結果應用於最終情形”——這裡，表面上靠的是連續性原則。就這樣，甚至在萊佈尼茨的工作中，也暗中求助於極限。我們並不把無限小設想為單純的絕對的零，而是作為相對的零，這就是說，把它作為保留著正在消逝的量的特征的一個消逝量。同時，萊佈尼茨也認為無限小量是“對在計算中可以略去，並使敘述帶一般性很有用處的虛構物”。聯系這些虛構物和現實的樞紐，他覺得是他的連續性原則，這個原則是他後期關於微積分的全部工作的基石。萊佈尼茨雖然自始至終用瞭無限小量方法，但對微分的態度仍是搖擺不定的，時而看作不確定量，時而看作定性的相對的零，有時又看作輔助變量——一種有用的虛構物。而且，他需要解釋的不僅有一階無限小量，還有任意階無限小量。這在當時無疑是相當困難的。
發佈於 2019-08-03
