終於我們要接觸到這個最最常見的指數函數瞭。 e^x

它有著一個迷人的性質，其導數是它本身。但是現在我們先不討論這個性質。我要關註的是一個邊角料的小問題。就是：e的x次方如何可能的？

什麼意思？e是一個實實在在的數！難道指數函數用e做底數還要討論？放心關於這點，我也完全有信心e的x次是方存在。問題是它的形式。我們來看它的定義：

e^x = lim_{ntoinfty}(1+frac{x}{n})^n 或者 e^x = sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}

註意一下原來的形式。在回憶一下e的基本定義，會發現：一個外部的x次方移動到瞭裡面去瞭。如下：

e^x = bbox[yellow]{left(lim_{ntoinfty}(1+frac{1}{n})^nright)^{x} = lim_{ntoinfty}(1+frac{x}{n})^n} 【公式一】

e^x =bbox[yellow]{left(sum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!}right)^{x} =sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}}【公式二】

(這裡的公式一二指黃色的部分)

上面兩個計算中的x都神奇的穿過瞭括號，移動到裡面去瞭。為什麼？這如何可能呢？

如果非要說這就是定義，這樣的話是說不通的。至少在我這裡是不認的。憑什麼！今天我就要探討一下。順便一提這個問題是我寫這本書之前最後一個遺留的問題，是最後一個拼圖。雖然證明方法很簡單，但是魅力很大。

首先我們先來證明一個簡單：

lim_{ntoinfty}(1+frac{x}{n})^n = sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}

這個形式的證明太簡單，這裡我不證明瞭。因為步驟和上一章的證明方法是一樣的。無非把其中一個1換成x而已。

如果你忘記瞭上一章的證明過程，那麼就去翻回去看看吧。註意：這裡不要有什麼挫敗感，如果你讀不懂，不是你個人的問題，是寫書的人我的問題，是我寫的不好。也不要為反復回到前面的章節閱讀而急躁，也沒有人催你，我們又不是在應試，我們現在要做的就是輕松的去享受探索真知的過程。

那麼上面的這個式子說明瞭什麼呢？我們隻要證明瞭【公式一】和【公式二】中的任何一個。另外一個也證明瞭。接下來我們來證明【公式二】（沒有什麼特別的原因，我選擇瞭公式二進行的研究，如果你要講究公式一的證明也可，請自行研究）

那我們怎麼研究呢？

我們先回到最基本的定義上。指數函數表示連續的x個e相乘。那麼先來證明個最簡單的x=2的情況看看能不能受到啟發呢！我們寫出我們要證的公式，先觀察一下。

sum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!}timessum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!} = sum_{n=0}^{infty}frac{2^n}{n!}

到此為止，我毫無頭緒。之所以我還有勇氣繼續進行推導，完全是因為我事先就知道這個公式是正確的。那怎麼繼續呢？要大膽猜測！左邊是兩個n項多項式相乘，右邊也是個n項多項式，那麼也就是說，在左邊展開的結果進行一系列的重新組合後，又變成瞭n項，並且得到右側的形式。

問題就在於怎麼樣的重新組合！

很可惜我們依舊沒有什麼思路，那我們暴力一點，全部的列出來然後在去看看有什麼規律吧。

begin{array}{c|cccccc} text{e.e} & frac{1}{0!} & frac{1}{1!} & frac{1}{2!} & frac{1}{3!} & … &frac{1}{n!}\ hline frac{1}{0!} & 1 & 1 & frac{1}{2!} & frac{1}{3!} & … & frac{1}{n!}\ frac{1}{1!} & 1 & 1 & frac{1}{2!} & … & *\ frac{1}{2!} & frac{1}{2!} & frac{1}{2!} & … & *\ frac{1}{3!} & frac{1}{3!} & … & * \ … & … & * \ frac{1}{n!} & frac{1}{n!} end{array}

我一開始做這一步的時候，把這個表格給寫全瞭。這個是錯誤的！想想我們算乘法的時候，一個用過的項就不會再去算第二次瞭。如果寫全瞭就相當於乘瞭第二次。這算我把我之前犯的錯誤記錄一下吧。

好瞭接下來不要眨眼，屏住呼吸。馬上就到瞭展現暴力和顏色美學的時候瞭。

我們要分組瞭，怎麼分呢？我們斜著分成一組。為瞭方便我把他們著上不同的顏色。

begin{array}{c|cccccc} text{e.e} & frac{1}{0!} & frac{1}{1!} & frac{1}{2!} & frac{1}{3!} & … &frac{1}{n!}\ hline frac{1}{0!} & color{blue}{1} & color{red}{1} & color{blue}{frac{1}{2!}} & color{red}{frac{1}{3!}} & … & frac{1}{n!}\ frac{1}{1!} & color{red}{1} & color{blue}{1} & color{red}{frac{1}{2!}} & … & *\ frac{1}{2!} & color{blue}{frac{1}{2!}} & color{red}{frac{1}{2!}} & … & *\ frac{1}{3!} & color{red}{frac{1}{3!}} & … & * \ … & … & * \ frac{1}{n!} & frac{1}{n!} end{array}

其他項自不必說。為什麼想到要這樣分組呢？因為我們等式的右側是個n項多項式。為瞭保證前後多項式個數相同，很容易想到這樣。接下來怎麼做呢？既然你已經分好組瞭，你就已經默認每組得到的都是等式右邊的形式瞭，即都有一個階乘。那麼我們把每組的階乘都提取出來，看看裡面現在長個什麼樣。結果值得玩味：

begin{array}{c|cccccc} text{e.e} & frac{1}{0!} & frac{1}{1!} & frac{1}{2!} & frac{1}{3!} & … &frac{1}{n!}\ hline frac{1}{0!} & color{blue}{1} & color{red}{1} & color{blue}{1} & color{red}{1} & … & 1\ frac{1}{1!} & color{red}{1} & color{blue}{2} & color{red}{3} & … & *\ frac{1}{2!} & color{blue}{1} & color{red}{3} & … & *\ frac{1}{3!} & color{red}{1} & … & * \ … & … & * \ frac{1}{n!} & 1 end{array}

到這裡我還看不出什麼。但是隱約間感覺到，每組的這些數存在一定的規則率。這時候我們會到之前將過的二項式定理。下面是它的一般形式。

（x+y)^n = sum_{i=0}^n C_n^{i}x^{n-i}y^i

我們不妨寫出三項看看，註意我的著色。

(x+y)^1 = color{red}{1}x+color{red}{1}y

(x+y)^2 = color{blue}{1}x^2+color{blue}{2}xy+color{blue}{1}y^2

(x+y)^3 = color{red}{1}x^3+color{red}{3}x^2y+color{red}{3}xy^2+color{red}{1}y^3

… …

諸如此類，我不在往下寫瞭。你會發現這些值正好是二項式定理的展開項的系數。如果你好奇於這樣神奇結果，不妨去找找楊輝三角（帕斯卡三角）。順便一提的是，記錄中最早發現這個數字三角的並不是楊輝，而是一個叫做賈憲的人，據說還被記錄在瞭永樂大典裡。可見，一個發現最重要的是應用而不是最早發現他們的人。如果你將來也有瞭重大的發現，千萬不要像達芬奇一樣，不去教導不去傳播，雖然是你先知道的，但是對人類的發展卻沒有什麼推動。

好瞭，現在反過來使用一次二項式定理就可以瞭。我們會發現每組都是（1+1）的幾次方。乘之我們剛才提出來的每組對應的階乘（希望你沒有忘記我們剛才有這個步驟）。就得到瞭下面的式子。

e.e=1+(1+1)+frac{(1+1)^2}{2!}+frac{(1+1)^3}{3!}+…+frac{(1+1)^n}{n!}

兩個e相乘如此瞭。很容易推廣到x個e相乘的情況。（這裡不給出嚴格的數據公式瞭）即：

e^x ={left(sum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!}right)^{x} =sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}}

於是就證明完畢瞭。

最後還要反思一下，這個證明中的一些瑕疵，註意我們的證明中x是個整數，因為我總是在描述“幾個”e相乘的問題。這裡暗示瞭x是整數。所以以上證明其實是針對瞭x是整數的情況。雖然我們很有把握，也比較容易推到出x為有理數的情況。至於x為無理數的證明，就留給愛思考的你瞭。這也算是對看完這個證明的你的一個獎勵。

或者對於最後把x擴展到有理數的證明並不順利。我們也不要糾結，因為在下一章將會啟發你一個更加簡單的證明（當然沒有上面這麼有戲劇性）