最孤獨的數字—

素數歷來都是數學界的寵兒，是數學裡神秘的謎團，有關素數的話題總能引發熱議，其緣由可能就在於它那孤獨又高冷的一面，常常讓人可望而不可及。

1、關於素數的趣聞

在2018年一本奇特的書《2017年最大的素數》初迅速登上瞭日本亞馬遜的暢銷書排行榜，整本書隻印瞭一個數——2^77,232,917-1。這個數一共有23249425位，是目前人類發現的最大的素數。就是這樣一本其實很無聊的書，卻賣到斷貨。

質數是隻能被1和自身整除的數字，即使除以1，它也還是它自己。正是由於質數獨特而神秘的氣質，它甚至成為瞭小說的主角。《質數的孤獨》是意大利作傢保羅·喬爾達諾的處女作，小說描繪瞭兩個曾遭受童年創傷的的年輕人彼此靠近卻始終不能的故事。

素數是隻能是1和它本身整除的自然數，如2，3，5，7，11， 13，17 ，19，23……，也被稱為質數。如果一個自然數不僅能被1和它本身整除，還能被別的自然數整除，就叫作合數。而1既不是質數，也不是合數。全體的自然數可分為四類：0，1.質數，合數。

下表列出瞭100以內的素數：

我們很容易通過計算寫出前幾個質數，它們是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…

如果我們就這樣寫下去，能夠把質數都寫窮盡嗎？如果質數可以窮盡，那麼關於質數的許多猜想就變得容易瞭許多。在古希臘時代，歐幾裡得通過反證法證明瞭質數是無限的。

所謂反證法，就是假設一個命題不成立，再通過演繹的方法推理出兩個相互矛盾的結論，從而證明該命題。歐幾裡得的思路是：

這個數字q是質數還是合數呢？

這裡的m都是質數，叫做q的質因子。由於所有的質數都被我們找到瞭，因此每一個m隻能在2、3、5、7、…、p中取值。

可是，根據q的計算方法可知：

也就是說q-1是2、3、5、7、…、p這些質數的整數倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一個數字都會有餘數1，因此q不可能有任何一個質數因子，這與q是合數矛盾，q不可能是合數。

所以，q既不是質數也不是合數，二者發生瞭矛盾。矛盾的起源在於我們假設質數是有限個，所以質數不可能是有限個，質數有無窮多個，真是一個漂亮的證法！

數學傢對素數的癡迷程度為什麼如此之高？可以毫不誇張的說，素數是一切數的基礎，算術基本定理保證瞭所有大於1的數，都可以由唯一的素數組合形式得到。

在200多年前，瑞士大數學傢——歐拉，也試圖揭開素數之謎，可後來他在給他朋友的一封信中寫道："素數的計算公式，在我們這輩子可能找不到瞭；不過我還是想用一個式子來表達它，但並不能表示出所有素數。n^2-n+41，n等於1到40"。

素數規律之所以難以掌握，主要是因為素數的分佈極不規律。

直到1859年，高斯的學生黎曼，基於一個猜想為前提，提出瞭素數分佈的準確公式。但是該公式非常復雜，其中還涉及一個超越函數的零點。這也是至今為止，人類對素數規律的研究中，最大的進展。

另一方面，素數的研究，對人類來說非常重要，人類目前的大部分信息加密，都是基於大數分解，如果誰掌握瞭素數分佈的最終規律，那麼分解大數將不是難事。

換句話說，一旦誰掌握瞭最終的素數分佈規律，那麼我們現在使用的絕大多數加密，比如銀行、郵箱、股票、軍事通訊等等都不再安全，這就是數學的力量，這就是質數的力量，所以人們熱衷於素數分佈規律的研究。

寫這篇文章，目的就是希望學生們能夠更多的瞭解數學，瞭解目前學的東西。簡單和困難往往相隔千裡，有些時候又是一墻之隔。0和無窮不就是差瞭一個分數線麼？