一、概述：
1、2、8、100、1489、、、等都是自然數，它們都是可數的數。有人認為自然數從1開始，不包括0。但也有人認為應該把0看成是自然數，也就是說自然數應該從0開始。
因為0不是可數的數，如果自然數從0開始，可數的數就是自然數的一部分，而非全部。
是否把0歸入自然數對學習數學沒有什麼實質影響，姑且把它算成自然數吧。
二、定義：
自然數包括0和從1開始一直到無限大的所有正整數。
全體自然數的集合稱為“自然數集”，統一用符號N表示。
自然數集N通常被寫成如下的“清單形式”：
N={ 0，1，2，3，∙····· }
也可以把它寫成更專業的“結構式”：
N={ x | x 是0或從1開始的任意正整數 }
三、特征：
自然數具備3大特征，即無限性、有序性和並非處處稠密。
無限性：自然數集是無限的，其中有無限多個自然數。
有序性：給定任意兩個不同的自然數a和b，總可以確定那一個大，那一個小。而且，如果b>a，c>b，則c>a。
並非處處稠密：自然數並非處處稠密，也就是說在兩個不同的自然數a和b之間，不一定總是存在至少一個自然數c。換句話說就是兩個不同的自然數a和b之間可以沒有其它自然數，例如2和3之間，8和9之間等。
四、自然數與運算律：
自然數在進行數學運算時，不完全遵守封閉性、結合性、交換性和分配性等算術運算律。
1、封閉性（Closure Property）
對加法和乘法運算，自然數遵守封閉性：兩個或多個自然數之和一定也是自然數；兩個或多個自然數之積一定也是自然數。
例1：1+2=3，5+9+10=24，3、24等都是自然數；
例2：2×3=6，5x9x10=450，6、450等都是自然數；
對減法和除法運算，自然數不遵守封閉性：兩個自然數之差不一定是自然數；兩個自然數相除，結果不一定是自然數。
例3：9-5=4，3-5=-2，4是自然數，但-2不是自然數；
例4：10÷5=2，2÷4=0.5，2是自然數，但0.5不是自然數；
2、結合性（Associative Property）：
對加法和乘法運算，自然數遵守結合性：
a+(b+c)=(a+b)+c
ax(bxc)=(axb)xc
例5：3+(4+5)=12, (3+4)+5=12；結果相等。
例6：3x(4×5)=60, (3×4)x5=60；結果相等。
對減法和除法運算，自然數不遵守結合性：
- (b-c)≠(a-b)-c
a÷(b÷c)≠(a÷b)÷c
例7：15-(18-5)=2, (15-18)-2=-5
例8：20÷(4÷2)=10, (20÷4)÷2=2.5
3、交換性（Commutative Property）：
對加法和乘法運算，自然數遵守交換性：
x+y=y+x
axb=bxa
例9：5+8=13，8+5=13，結果相等。
例10：5×8=40，8×5=40，結果相等。
對減法和除法運算，自然數不遵守交換性：
x-y≠y-x
a÷b≠b÷a
例11：8-3=5，3-8=-5，結果不相等且不一定是自然數。
例12：10÷5=2，5÷10=0.5，結果不相等且不一定是自然數。
4、分配性（Distributive Property）：
對加法運算，自然數遵守乘法分配性：
ax(b+c)=ab+ac
對減法運算，在b>a的條件下，自然數遵守乘法分配性：
ax(b-c)=ab-ac
例13：4x(3+5)=32, 4×3+4×5=32，結果相等。
例14：4x(5-3)=8, 4×5-4×3=8，結果相等。
五、自然數的分類：
按照不同條件和標準，自然數可以進一步分成很多不同的種類，常見的幾種包括：
- 偶數even：能被2整除的數，如2，4，6，8，，，，
- 奇數odd：不能被2整除的數，如1、3、5、7、9、、、
- 平方數square：能寫成某個自然數的平方的數，如1、4、16、25、、、
- 立方數cube：能寫成某個自然數的立方的數，如1、8、27、64、125、
- 質數（素數）prime：隻能被1和自己整除的數，如2、3、5、7、11、13、、
- 合數composite：除1和自己外，還能被其它自然數整除的數，如4、6、8、9、、、、、
- 完全數perfect：一個自然數，除自己以外，所有自然數因子之和剛好等於它自己，這樣的自然數稱為完全數，如6、28、496、、、
六、需要進一步思考的問題：
- 自然數並非處處稠密，兩個自然數之間可能沒有其它的自然數，但一定有其它的數，從而引出有理數的概念；
- 自然數在減法運算時，結果不一定是自然數，從而引出負數的概念；
- 自然數在除法運算是，結果不一定是自然數，從而引出分數（小數）的概念；
- 自然數雖然簡單，但可以有無窮多種分類方式，引出各種各樣的數論問題。
