第一次在知乎上寫文章……加之個人水平有限，語言組織能力差（註:本人語文常年不及格），如有錯誤和紕漏，還望指出

話入正題，就個人觀點而言，高考導數壓軸有很多都是以高數為背景進行命題的，拉格朗日、泰勒、洛必達、切比雪夫，還有琴生、凹凸性、費馬等等等等，高數馬勒戈壁四大定理幾乎年年見，當然那是後話（後期文章會詳寫）。本文主要說導數的數列放縮問題，其一般的常規方法基本是通項法、裂項放縮法、等比放縮、還有積分放縮（註:此處的積分放縮指利用其幾何性質），這些方法後期文章都會逐一解釋。

言歸正傳，先說個後文會用到的玩應兒：

Stolz（施篤茲）定理： 設數列a_{n}、b_{n}滿足：（1）b_{n}嚴格單調遞增 （2）lim_{n rightarrow infty}{b_{n}}=+infty （3）lim_{n rightarrow infty}{frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L ；則lim_{nrightarrow infty}{frac{a_{n}}{b_{n}}}=L

這玩應兒咋瞅都有點眼熟，很像洛必達法則（洛必達法則就不過多贅述瞭）~~~

洛必達老爺子亂入~~~

Stolz本質上就是個離散版本的洛必達（數列不連續。。。）

下面簡單的說一下以Stolz定理為背景的題

先整個填空，熟悉熟悉這個新鮮玩應兒（好像出自一本強基的書···記不住瞭）

數列a_{n}=frac{nleft(n +1 right)}{2},前n項和記為S_{n}，求lim_{n rightarrow +infty}{frac{n^{3}}{S_{n}}}

解：易知S_{n}=frac{nleft( n+1 right)left( 2n+1 right)}{12}+frac{nleft( n+1 right)}{4}，S_{n}rightarrow+infty且遞增，符合Stolz，最終化簡可得lim_{n rightarrow +infty}{frac{6n^{2}}{n^{2}+3n+2}}，然後套用Stolz，可將前式化為lim_{xrightarrow +infty}{frac{12n+6}{2n+4}}=6

或者更簡潔一些，上來就用a_{n}=S_{n}-S_{n-1}，直接得到lim_{xrightarrow +infty}{frac{12n+6}{2n+4}}=6

上題其實是一個不錯的例子，因為絕大多數的高考導數數列壓軸都是類似於“左面數列，右面單（雙）項”的形式，很少出現左右都是數列的情況。上題中的Sn雖然是和的形式，但同樣可將其視作某一個數列的通項，好比Stolz中的bn，在第n+1項和第n項作差之後，自然就隻剩下瞭一項。另外，以個人看來，將導數的數列問題進行“去數列化”（以後的文章會詳寫），是最簡潔的常規方法，當然，要在能湊出來的前提下。。。Stolz定理也是一個道理，隻不過其“去數列化”的過程過於“直接”罷瞭

本文的重頭戲來瞭。2022高考數學，有兩道題讓我印象深刻，一個是來自“最後的浙江卷”的導數壓軸，那個運算量······另外一個就是全國二卷的導數壓軸，廢話不多說，上題：

設nin N^{*},證明frac{1}{sqrt{1^{2}+1}}+frac{1}{sqrt{2^{2}+1}}+···+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}>lnleft( n+1 right)

前兩問省略掉瞭，（標答裡用的是第二問的結論，但對本文不適用，以後會單獨寫本題的常規解法與思路）

證明： 左面記作a_{n}=frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}，frac{1}{sqrt{1^{2}+1}}+frac{1}{sqrt{2^{2}+1}}+···+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}記作S_{n}，然後把S_{n}整體左移 進而直接帶來frac{ln(n+1)}{S_{n}}<1的效果，再由Stolz定理可得：lim_{n rightarrow +infty}{frac{ln(n+1)}{S_{n}}}=lim_{a rightarrow b}{frac{ln(n+1)-ln(n)}{S_{n+1}-S_{n}}} 化簡可得lim_{n rightarrow +infty}{frac{ln(frac{n+1}{n})}{frac{1}{sqrt{n^{2}+n}}}},所以隻需證明{frac{ln(frac{n+1}{n})}{frac{1}{sqrt{n^{2}+n}}}}<1即可，後面的做法就比較常規瞭，此處略

整體上來講，從這道題中不難看出，（下面的話含有一定的主觀色彩）命題人出構型類似這樣的題時，必然先找符合Stolz定理的原函數，即咱最後求出的 {frac{ln(frac{n+1}{n})}{frac{1}{sqrt{n^{2}+n}}}} ，然後命題人會設置一個取值范圍，建立一個不等關系，然後把分母移項過去，構造出一個最基本的不等式，然後把其中的一項視作某一數列的通項進行遞推，得到瞭那讓人看瞭就作嘔的大多項式，Finally，考生的噩夢就誕生瞭。總而言之，就是出題人逆用Stolz定理~~~

此外，也算是一個劇透吧，能用Stolz定理解決的題，一般都能用去構造出來相消的效果，將數列與單項之間的比較，轉化成數列與數列之間的比較，然後一一對應進而實現開頭提及的“通項法”，比如:

ln(n+1)-ln(n)+ln(n)-ln(n-1)+···+ln2-ln1，想必都看出來瞭，這同樣是本題的一個解法，畢竟ln(1)=0是個好東西

文章的最後，有幾道同類型的題（我記得好像都是早些年的高考題），可以玩玩

1.fleft( x right)=ln(x+1),g(x)=frac{x}{x+1},forall nin N^{*},比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小

2.證明frac{2}{3}+frac{2}{5}+frac{2}{7}+···+frac{2}{2n+1}<ln(2n+1)

3.a_{n}=frac{1}{sqrt{n(n+1)+1}}的前n項和為S_{n}，證明S_{n}<ln(n+1)

具體的多種解法和分析過程以及命題思路見於下文（預計周日發表）