等差數列是常見數列的一種,可以用AP表示,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列,而這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。
(一)等差數列求和公式
1.公式法
2.錯位相減法
3.求和公式
4.分組法
有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然後分別求和,再將其合並即可.
5.裂項相消法
適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然後累加時抵消中間的許多項。
小結:此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消瞭。隻剩下有限的幾項。
註意:餘下的項具有如下的特點
1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2、餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地,證明一個與正整數n有關的命題,有如下步驟:
(1)證明當n取第一個值時命題成立;
(2)假設當n=k(k≥n的第一個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。
例:
求證:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明:
當n=1時,有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設命題在n=k時成立,於是:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立,歸納得證
7.並項求和法
(常采用先試探後求和的方法)
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一:(並項)
求出奇數項和偶數項的和,再相減。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三:
構造新的數列,可借用等差數列與等比數列的復合。
an=n(-1)^(n+1)
(二)等差數列判定及其性質
等差數列的判定
(1)a(n+1)–a(n)=d (d為常數、n ∈N*)[或a(n)–a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常數]等價於{a(n)}成等差數列。
(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。
(3)a(n)=kn+b [k、b為常數,n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。
(4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數,A不為0,n ∈N* ]等價於{a(n)}為等差數列。
特殊性質
在有窮等差數列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和;特別的,若項數為奇數,還等於中間項的2倍,
即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中
例:數列:1,3,5,7,9,11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即,在有窮等差數列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。
數列:1,3,5,7,9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即,若項數為奇數,和等於中間項的2倍,另見,等差中項。
現在已經是高三復習的最後沖刺階段,知識點沒有掌握的,抓緊時間掌握,先把容易得分的知識點給學紮實瞭,這樣才會得到好成績,今天給大傢整理的是數學等差數列求和的方法和技巧希望能夠更好的幫助各位同學們,等差數列每年都是高考中,必不可少的題型。
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