這一篇大概是七下數學的內容，主要是寫給初一~初三范圍的學生的

---

首先需要強調的是：是二元一次方程組而非二元一次方程，因為二元一次方程可能有無數對應的解，而二元一次方程組——你一般遇到的——都是有唯一解的，談論二元一次方程組時，不要丟掉組這個字，否則意思就大相徑庭。

其次則需要強調的是，這是二元一次而不是一元二次，二元一次指的是有兩個未知數，次數為1的整式方程；一元二次則是隻有一個未知數，最高次數為2的整式方程。這裡有一個小細節就是一定要說是整式方程，比如x+y+2/x=2就不能說是二元一次方程，因為裡面混進去瞭一個“2/x”，它已經不屬於整式方程瞭。

一般來說，當七年級下學期大傢學習二元一次方程組的解法的時候，無非就是幾種方法：代入消元法、加減消元法。

①代入消元法

我們先隨便拿個題目舉例

begin{cases} 2x+y=5 ①\ 3x+5y=18 ② end{cases}

你看，在這裡我們可以把①式移項變為 y=5-2x

接著我們往②中代入

得到 3x+25-10x=18

整理一下就是 25-7x=18

明顯x=1，那麼y=5-2=3

所以 begin{cases} x=1\ y=3 end{cases}

簡單地按我理解來說就是把兩個式子裡面挑一個好一點的式子變形，讓未知數能通過他們的關系代入消元變成一元一次方程，解出一個解再反代入回去求解另一個。

當然像剛剛的例題我們直接把①乘以5

得到 10x+5y=25

這樣再得到 3x+5y=25-7x ，整體向②中代入，其實是一樣的，不過這個時候我們其實可以隱約看到加減消元法的間接運用

②加減消元法

實際上，如果我們先把上面例題中的①乘以5得到 10x+5y=25

直接用它減去②式，就可以直接得到 7x=7 ， x=1 瞭

這就是加減消元的應用瞭

我們用加減消元法，大概是這樣：先變換方程的系數，可以讓這兩個方程某個未知數系數變成相反數或者相等，這樣直接加或者減，消去一個未知數就可以進行求解瞭。

---

實際上你不難發現，這樣的方法是通用的，不過在初一時候可能很多人沒有進一步思考，這是可以得到一個普遍的求根公式的

begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 ① \ a_2x+b_2y=c_2 ② end{cases}

這裡我們給出一個一般形式的二元一次方程組，默認未知數系數不為0

我們用剛剛兩種方法都可以不過我覺得加減消元看著舒服一點

我們先讓①同乘b₂，讓②同乘b₁,

可以得到

begin{cases} a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2 ③ \ a_2b_1x+b_2b_1y=c_2 b_1 ④ end{cases}

這樣我們讓③和④作差，中間，y由於系數相同被消去

得到 a_1b_2x-a_2b_1x=c_1b_2-c_2 b_1

也就是 (a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2 b_1

得到 x=frac{c_1b_2-c_2 b_1}{a_1b_2-a_2b_1}

我們故技重施，讓①同乘a₂，讓②同乘a₁,

begin{cases} a_1a_2x+b_1a_2y=c_1a_2 ⑤ \ a_2a_1x+b_2a_1y=c_2 a_1 ⑥ end{cases}

作差

那麼 (b_1a_2-b_2a_1)y=c_1a_2-c_2 a_1

y=frac{c_1a_2-c_2 a_1}{b_1a_2-b_2a_1}

綜合一下，系數不為0的

二元一次方程組 begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \ a_2x+b_2y=c_2 end{cases}

解為 begin{cases} x=frac{c_1b_2-c_2 b_1}{a_1b_2-a_2b_1} \ y=frac{c_1a_2-c_2 a_1}{b_1a_2-b_2a_1} end{cases}

但是問題來瞭，這玩意也太復雜瞭吧。。。肯定有人能背下來但是你不覺得有點醜陋嗎？

現在我們來定義新運算：

ad-bc=begin{vmatrix} a &b\ c & d \ end{vmatrix}

這個看起來有點方東西由兩條豎著的線組成，有點像絕對值，裡面寫上a,b,c,d四個字母

然後這時候，——你就把小a,小b,小c,小d看作是表示頂點的字母吧——從a到d我們記作主對角線吧，因為它整個看起來是個沒蓋沒底的正方形，ad這個順序是這個正方形的對角線，就叫主對角線好瞭；然後另一個對角線bc就叫副對角線好瞭

這樣 begin{vmatrix} a &b\ c & d \ end{vmatrix} 的結果就是主對角線減副對角線（我指的是a,d乘積減去b,c乘積）

再給它起個名吧，叫二階行列式好瞭。

我們把它用到剛剛的“求根公式”上看看：

x=frac{begin{vmatrix} b_2 &b_1\ c_2 & c_1 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a_1 &a_2\ b_1 & b_2 \ end{vmatrix}}

y=frac{begin{vmatrix} a_2 &a_1\ c_2 & c_1 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} b_1 &b_2\ a_1 & a_2 \ end{vmatrix}}

對比一下原來方程組的系數

begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \ a_2x+b_2y=c_2 end{cases}

誒我好像寫得不是很明顯，這樣吧，既然對角線上面兩個數是相乘關系，我把

begin{vmatrix} a &b\ c & d \ end{vmatrix} 變成 begin{vmatrix} a &c\ b & d \ end{vmatrix} 也是一個結果；類似地， ad-bc=begin{vmatrix} a &b\ c & d \ end{vmatrix}=-(bc-ad)=-begin{vmatrix} c &d\ a & b \ end{vmatrix}

那麼

x=frac{begin{vmatrix} b_2 &c_2\ b_1 & c_1 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a_1 &b_1\ a_2 & b_2 \ end{vmatrix}} =-frac{begin{vmatrix} b_1 &c_1\ b_2 & c_2 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a_1 &b_1\ a_2 & b_2 \ end{vmatrix}}

y=frac{begin{vmatrix} a_2 &c_2\ a_1 & c_1 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} b_1 &a_1\ b_2 & a_2 \ end{vmatrix}} =-frac{begin{vmatrix} a_1 &c_1\ a_2 & c_2 \ end{vmatrix}}{begin{vmatrix} b_1 &a_1\ b_2 & a_2 \ end{vmatrix}}

哦~所以你可以觀察到其實x就等於

方程組 begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \ a_2x+b_2y=c_2 end{cases} 裡面

除瞭x系數(指a₁,a₂)之外的數依次書寫在那兩道豎線裡頭，從x的系數開始數，然後再比上除瞭常數項(指c₁,c₂)的數——也是依次書寫在兩道豎線裡頭，最後加個負號吧！

y是不是也一樣？除瞭y系數(指b₁,b₂)之外的數依次書寫豎線裡，從y的系數開始數，比上寫在豎線裡的除瞭常數項(指c₁,c₂)的數，最後添加負號。

把這兩個二元一次方程擺在一起，組成一個二元一次方程組，結合我們剛剛提到的豎線——哦，二階行列式——其實它們的系數，對比一下，它們好像有一個交叉相乘的關系吧，你一定能觀察到。

事實上，我們還可以把二元一次方程組看作兩個一次函數圖像的交點，不過這裡就不過多再介紹瞭。

總之，這篇我想和初一學生們談的其實就是關於二元一次方程組的解法，以及最後能推導出的結果。實際上它涉及到一點點線性代數的知識，但是並不難於理解。

這是我第一篇文章，寫得可能並不是太好，希望有人可以給點意見qwq，感謝。

---

題圖是找的，侵刪。