數學裡極限的意思就是：

一個數量或者數列，

無限接近一個數，但是又不一定等於它。

（記住是一個數值）

它們數列之間，總是趨向這個數值

我們就管這個數叫這個數列的“極限”。

（數列就是一串數字，一段數據用Xn表示）

定義：

當一個數列Xn，跟一個隨便找來的任意數a，直接相減它們的差，取絕對值之後，總是存在著一個正數ε，且n∈（N，+∞），那麼a就是該數列的極限。

表示為：I Xn-a I<ε，n∈（N，＋∞）

n：（n是它的數列個數）

ε：（讀音：epsilon，希臘字母第五個，用來表示正數），

這個式子是什麼意思呢？雖然它這個式子不是很嚴謹，因為似乎隨便都可以找到這樣的正數“ε”，我認為主要是表達這個意思：

如果是有差距的，那麼就無論“ε”多麼小，

在正數集合裡面，都找得到像“ε”這樣的非零正數，來證明它們之間有差距。

有差距意味著它們之間是有距離的，從而意味著它這個數a是Xn的極限。

（正數是包括正整數，正分數，正無理數，但是就是不包括0。）

常數的極限是它本身，

它是可以等於它自己，

因為它已經不變化瞭，

它這數無限的接近自己。

但是函數的極限就不一定是它本身。

它的意思是事物的量在變化的過程之中（一般全都是高低浮動變化，有些是無限接近變化），

當它變化的時候一直趨向於某個數（或者老是朝著某個數運動），

但是又不是等於這個數，我們就說它存在極限。

這個極限是“事物變化過程”的極限。

（註意它這個數學裡面的極限，跟我們平時講的最大值，最小值，也就是事物的邊界值的極限，不一樣！）

lim 1/ x的極限為0。

（x→∞）

實際上在圖像上就是這個曲線變化總是想接近於0，但是又碰不到它。

【我們平時說的某個函數在某點x0上，有極限，實際上是在說，它這個點的變化，是趨向運動於某一個值或者某一方向運動，如果震蕩運動，發散運動那就無任何極限。】

比如說，數列Xn裡面{1，2，3，4，5，6，7，7.1，7.2，7.3 ，7.4，7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，7.91，7.92…}

那它的極限可能就是8，無限向某個數靠攏，有恒定的方向。

如果類似於{2，3，3，2，3，2}{1，-1，1，1}這種來回震蕩的，沒有明顯趨向方向的不趨向於任何數。

【所以數學極限，更多研究的是事物數量變化運動的方向性，而不是研究類似常規概念：數量最大最小值的邊界范圍】

規律：

由此得知

數學極限的概念

在告訴你事物數量變化的過程

在始終接近於哪個數，哪個值，哪個方向。

它像是一個帶有“運動方向”概念的極限。

跟我們平時認知的事物的邊界，

也就是事物的最大最小值，

一般是事物的“極限”，

跟這個常規概念完全不一樣。

前者描述的是變化的范圍，

而且就是等於它最大最小值。

（像是空間范圍“（）”向量）

數學描述的也是變化范圍，

但更有變化的方向在裡面“→”

但是是隻有一個值的范圍，

而且是一個向量，有運動方向，

而且是可能無限不等於這個極限。

（像是運動方向“→”的向量）

既然跟這個常規邊界理論不太一樣，

由此我們可以用這套思維

確定其他事物的極限：

數學的極限是一種“運動方向的極限”

還可以引申為

“意念的極限”

“期望值的極限”。

而我們常規我們講述的：

最大最小值是一種“范圍的極限”

還可以引申為

“行動的極限”

“實際的極限”

我舉個例子：

比如說你要考大學，

你目標想考清華北大，

那麼這個就是你的運動極限，

或是“意念極限”“期望值極限”

可是你實際上能考到的大學范圍就是211。

這個就是你的“范圍極限”

“行動極限”“實際極限”。

假如說你想買一個商品，

然後，你想買最好的，

最好的商品大概兩千塊錢，

那麼這個就是你的運動方向極限，

你永遠接近它，但是不一定到達它。

而實際上，你的口袋，

隻有200~500塊，

那麼這個就是你的范圍極限，

或者說“實際極限”，

或者說“行動極限”

運動極限就像事物的運動趨勢，

就像目標一樣，

可以無限接近，但是不一定達到。

而范圍極限就是

你行動後所能活動的范圍

它直接決定瞭，

你到底會停留在哪個范圍空間。

“（）”“→”

【空間極限】【運動極限】

有瞭這兩套極限思維，

我們在生活中就可以大量的界定

一個事物變量變化的過程以及趨勢。