今天，我們站在一個金融機構者的角度來看待傳統的貸款或者分期業務。金融一直都在尋求財務上的資金高周轉和回報率，因為資金的高周轉就能獲得比名義利率高得多的投資回報。但是，其中涉及瞭多個變量，其中具體的哪些變量對收益率的影響因素更大？怎麼更科學的做決策呢？今天就寫一遍文章大體介紹下。

首先先貼一張表讓大傢有個直觀的印象：

上表我們暫且稱為case1業務的現金流表，橫坐標為月份，縱坐標為放款筆數。case1業務是這樣的：計劃每期放貸10000元，貸款利率設定是年化10.8%，分期12個月。

理想假設：我們業務的壞賬率都為0（現實中不可能做到，為瞭便於理解，設定壞賬為0）。從第二期開始，每期我們會收到借款人的還款金額，我們case1業務計劃每個月放貸10000元，連續放12個月，總的是放款12萬。

但是，實際中，每期我們也會收到借款人的還款，所以，實際收益率會高於設定的年化10.8%，且我們並不需要真正動用12萬的資本金用於放貸。或者，可以理解為上一期本金所帶來的利潤，在下一期放貸中，本金和利潤又參與瞭資本增殖活動，創造價值，減少瞭資本占用。

經過測算，我們上述的case1業務，實際隻需要動用5.92萬元，我們收回全部貸款的期限跨度需要24個月，現金流第12個月為正，總的收益率為21.88%（我們全文定義的收益率=收益/資金支出），折算年化10.94%，跟我們設定的分期利息的年化10.8%的收益，幾乎沒差別！

我們接著來看另外一張表：

上表為case2業務現金流表，該業務計劃除瞭分期期數變為6個月外，其他的跟case1業務是一致的。

case2業務中實際我們隻需動用3.23萬元，收回全部貸款的期限跨度需要18個月，現金流第7個月為正，總收益率為40.12%，折算年化26.75%。case2的收益率跟上述case1的相比，優勢很明顯，總的收益率和年化收益率都明顯提高瞭近1倍左右！相當美滋滋！

於是，我們再測算下，如果我們放貸筆數不那麼多筆，我就放8個月，收益又會是什麼情況呢？看下表：

上表我們稱為case3業務，除瞭放款筆數減少至8筆，其他變量跟case2業務是一致的。我們看到，case3業務需要動用3.23萬元，收回全部貸款的期限跨度需要14個月，第7個月現金流為正，總收益率為26.75%，折算年化22.92%。

那麼，問題來瞭！

case1業務、case2業務和case3業務中都涉及瞭很多變量，有分期期數、放款筆數、每期放貸本金、利息水平，甚至是現金流為正的期數也是變量！case2隻改變一個分期期數，就可以導致整體的收益率比case1高很多；case3隻減少一個放款筆數變量，總體收益率水平就比case2低，那麼改變其他變量呢？

這麼多變量，哪個變量正相關？哪個變量負相關？哪個變量權重大？怎麼做決策？想想都會頭皮發麻！

一步一步來，我們在建模前，先來看下現金流表！

首先，上述3個業務的現金流表格或許有些人覺得不美觀，如果隻是想看著好看，我可以畫個花裡胡哨的表格給你看，但是，對於理解業務沒啥卵用！我表格這麼畫，是有背後邏輯的，我來跟大傢解釋下。

角度1：把業務分為3個部分看待，一是資金流為負的期數，意味著你做這個業務到底得掏出來多少資本金，這是個等差數列；二是你預計放貸筆數和現金流為正的期數對比，你還能收多少期的回款，是個常數列；三是等你達到預期設定的放款筆數後，你坐等後期的收款，這也是個等差數列。

角度2：我們上述假設的業務都是0逾期和0壞賬的，但是現實中是不可能的。現金流為負的期數和現金流為正的期數，壞賬率是不一樣的，不嚴格對偶！後期發生壞賬率的概率會高出很多（你如果問我為什麼說壞賬率不嚴格對偶，我隻能說這是我的行業經驗總結和實際數據所呈現出來的）。這個方便你在對待實際業務的時候，有個理性的角度去看待和防范風險。

現在，我要開始設定變量瞭，我設定每期放貸本金為b、分期期數為n、分期年化利息為r、放貸筆數為w、現金流為0的期數為i。我從設計計算機程序的角度去建立數學模型會更有邏輯和解釋性點，下面我們開始展開思考。

第一步、先求出現金流從負值轉變為正值的期數i。那現金流的函數是什麼呢？我們通過觀察表格，前期現金流為負的期數，是個等差數列，在本金為常數的情況下，我們有有個如下一個函數：

我們求當的時候，i是多少，這個計算很簡單。現在，我們再引入2個變量值，p為現金流為負期末期數，q為現金流為正的期初期數。當f(i)=0，i為整數的時候，p=i，q=i+1；如果當，i為浮點型時，p取i的最小正整數，q取i的最大正整數。（eg：當i=6.8時，p=6，q=7）

第二步、求總支出資本金。前面提到過，這是個等差數列，我們設為S3，用等差數列求和公式計算，大傢可以自己去計算下，我這裡就不推導瞭。

第三步、求回收資金。這裡需要註意的是，資金的回收期數中，我們分瞭兩部分，一部分是放貸筆數和現金流轉變為正的期數之間的資金回收過程，是個常數列，我們設為S1，另一部分是當放貸筆數結束後，後續的資金回收階段，是個等差數列，我們設為S2。下面給出推導公式：

大傢不要看推導後的公式好像很可怕，摸不著頭腦，其實很簡單，基本是等差數列的求和公式推導出來的。稍微難的是S1的推導，你可以通過觀察現金流表格，琢磨下就清楚瞭（我琢磨瞭2天！也是很費腦！）。

第四步、求收益和回報率。我們設收益benefit=S1+S2-S3，把上面3個公式做簡單的加減乘除得：

有瞭收益之後，我們來計算我們的收益率，設回報率G=benefit/S3,我們來做個相對復雜的算術運算得：

當我們算到這裡的時候，雖然公式中的變量有點多，但是基本的數學模型建立起來瞭，好歹是解決瞭一個計算公式的大問題。但是，我們要清楚，上述的推導公式是沒有考慮每期的壞賬率的，復雜點的業務是要再把這個變量考慮進來的。通過上述收益和回報率的公式，我們發現有趣的一點是：收益跟本金是有相關關系的，但是看到回報率，回報率卻跟本金這個變量沒有關系瞭！這點值得思考。

其中，不知道有沒有細心的的看官發現，上述的所有推導公示並不是放在任何時候都管用的，這裡是有前提條件的！這個前提條件就是：分期期數n≤放款筆數w，且n≠0。

如果當分期期數n＞放款筆數w，且n≠0時，上述的S1、S2、S3、benefit、G公示都不一樣！我們還是跟上述流程一樣，第一步先計算函數f(i)=0的時候，i的值。這裡我們跟n≤w的情況不一樣的是，我們還需進行一次判斷，即判斷i和w的大小。

當i≥w時，比較好計算，我把公式貼出來，大傢可以自己嘗試去推導下。

這時候，我們又發現一個有趣的現象：現金流負值期數p和現金流正值期數q其實都取決於放款筆數w，在推導公式中p=w、q=w+1，或者說期數i“隱退”瞭，公式也很簡潔！

當i＜w時，情況就不那麼明朗瞭，我們還是跟前面的步驟一樣，判斷當i為整數的時候，p=i，q=i+1；如果當f(i)=0，i為浮點型時，p取i的最小正整數，q取i的最大正整數（eg：當i=6.8時，p=6，q=7）。這種情況下我們計算公式會比較繁雜點，但是不要害怕，就是比較復雜一點的算術問題而已，這裡我們多瞭個S4公式出來，我們的收益benefit=S1+S2+S4-S3，其他的我們跟以前的一樣，大傢可以嘗試去推導下，我直接先貼出來：

這裡貼一張圖讓大傢有個直觀的印象：

綜上所述，我們構建瞭一個完備事件下的測算放貸業務實際回報率的公式，我做個流程圖讓大傢比較有清晰的思路。

寫到這裡，實在不容易，前前後後修改瞭3次，總算是把數學模型建立好瞭，後期我們就是對函數G進行研究，我們後續要判斷的是G和多個變量的相關性，我們可以求一階導，二階導或去度量。今天先寫到這裡吧，後續再繼續更新。