12.3慣性矩和慣性積的平行移軸公式(xiⅠ-3 慣性矩和慣性積德平行移軸公式）
一、組合截面的慣性矩和慣性積
1、慣性矩和慣性積的平行移軸公式
註意，下圖例子中，z軸與z'軸不同，需要平移
註意，z軸與z'軸不同，需要平移
2、慣性矩和慣性積的平行移軸公式使用條件：
1）兩軸必須平行；
2）在兩根軸中有一根必須是形心軸。
3）a、b是形心C在yoz坐標系中的坐標，可正可負
4）在一組平行軸系中，平面圖形對形心軸的慣性積最小
慣性矩和慣性積的平行移軸公式
二、例題：求圖示T型截面對水平形心軸的慣性矩
求圖示T型截面對水平形心軸的慣性矩
12.3.1組合截面的慣性矩
一、例題：求圖示截面對其形心軸的慣性矩
1、解法一：
求Iy及形心在y軸上的位置
註：
1）右下角1表示第一個子塊，即axa的矩形；2則表示第二個子塊，即直徑為a的半圓
2）Zc'為過形心的Z軸，位置上圖求yc時已求出
求Izc
2、解法二：
解法二
12.4慣性矩與慣性積的轉軸公式(xiⅠ-4 慣性矩與慣性積的轉軸公式）
一、截面的主慣性軸和主慣性矩
1、慣性矩和慣性積的轉軸公式：
軸轉動時，不能用之前的平移公式
2、三要素：Iy、Iz、Iyz；傾斜角α，逆時針為正
3、使用前提：
1）轉動時原點必須重合
2）兩軸慣性矩之和為常量
慣性積的轉軸公式
12.4.1利用轉軸公式計算慣性矩
一、例題：直徑為d的四分之一圓形，C是其形心，求Iz？
1、解法一：先平移，後四矩式
解法一
2、解法二：先轉動，再平移
解法二
3、解法三：添加另外一個半圓，求夾在中間扇形的慣性矩
解法三
12.4.2主軸和主矩
一、截面的主慣性軸和主慣性矩
1、主慣性軸：圖形對其慣性積為0的一對坐標軸
主慣性軸
2、主慣性矩：截面對於主慣性軸的慣性矩，簡稱主矩
3、過同一點的軸系中，主軸可能不唯一，但主矩是唯一的
4、過不同點的軸系中，主軸和主矩都是不同的，其大小與所取的坐標原點相關
二、形心主軸和形心主矩
1、形心主慣性軸：主慣性軸的原點與形心重合，簡稱形心主軸
2、形心主慣性矩：截面對於形心主慣性軸的慣性矩，簡稱形心主矩
3、兩點結論：
1）形心主矩中的極小值一定是一個圖形所有慣性矩中的的最小值。較小形心主矩是最小值
2）形心主矩中的極大值不是一個圖形所有慣性矩中的的最大值。較大的形心主矩不是最大值
三、形心主軸和形心主矩的確定
1、當一個平面圖形（截面）有三根或以上的對稱軸時，則過形心的任一根軸均為形心主軸，且慣性矩相等。最常見的圖形為正多邊形和圓
2、若一個圖形（截面）僅有兩根互相垂直的對稱軸，則這兩根軸一定是形心主軸。最常見的為矩形和工字形。
3、若一個圖形（截面）僅有一根對稱軸時，該對稱軸時一根形心主軸，另一根形心主軸與該軸垂直。常見的為T型軸和U型軸
4、無對稱軸，隻能正常計算
形心主軸和形心主矩的確定
四、例題：試計算截面的形心主慣性矩（無對稱軸）
步驟：
1）求形心坐標
2）過形心做初始坐標軸
3）由平行移軸公式求對整個截面形心軸的三要素Iy、Iz、Iyz
4）用轉軸公式確定主軸位置
5）利用三要素求出形心主軸和形心主矩
求三要素利用三要素求出形心主軸和形心主矩
12.4.3組合截面的主軸和主矩
一、例題：求該三角形對z軸的慣性矩
1、解法一：補足另一半三角形，形成一個正方形
解法一：補足另一半三角形，形成一個正方形
2、解法二：轉動z軸，至z'，形成y'z'坐標系
解法二：轉動z軸，至z'，形成y'z'坐標系
二、例題：試求剩餘圖形對z軸的慣性矩
註意：因為此圖形的對稱軸有四根，根據定理（當一個平面圖形（截面）有三根或以上的對稱軸時，則過形心的任一根軸均為形心主軸，且慣性矩相等。最常見的圖形為正多邊形和圓）
試求剩餘圖形對z軸的慣性矩
三、截面的幾何性質小結：
1、靜矩和形心
1）任意形狀的平面圖形，對其形心軸的靜矩為0；靜矩為0的軸，肯定是形心軸。
靜矩（Sz）為0 Leftrightarrow 形心軸
2）形心軸劃分出來的兩個子塊，他們各自對形心軸的靜矩大小相等，符號相反
形心軸劃分出來的兩個子塊，他們各自對形心軸的靜矩大小相等，符號相反
3）對稱軸左右的兩個部分，各自對形心軸的靜矩皆為0
對稱軸左右的兩個部分，各自對形心軸的靜矩皆為0
2、慣性矩和慣性積
1）記住矩形、三角形、圓形的慣性矩
2）慣性矩的四矩式
3）平移公式
註意兩點：
·1個形心軸+1個非形心軸，平移公式可用
2個非形心軸，平移公式不可用
·若平移公式可用，需確定移軸項符號，是正還是負
慣性矩和慣性積
3、形心主軸和形心主矩
形心主軸和形心主矩
附錄第二部分完
