學習階段：大學數學。

前置知識：級數、復變函數的導數與積分。

1. 復級數

1.1 復級數的定義

復級數可以由實級數直接推廣而來。

復級數： sum_{n=1}^infty z_n=sum z_n=z_1+z_2+z_3+cdots

部分和： S_k=sum_{n=1}^kz_n=z_1+z_2+cdots+z_k

若 lim_{ktoinfty}S_k 收斂，稱復級數收斂，否則稱為發散。

定理：若 sum z_n 收斂，則 lim_{ktoinfty}z_k=0 .

上述定理是顯然的。如果 z_k 不趨於 0 的話，復級數最終會反復震蕩，不收斂於任何一個值。

著名的黎曼猜想中研究的黎曼 zeta 函數，就是一個復級數，定義為 zeta(z)=sumfrac{1}{n^z} . 關於 zeta 函數與黎曼猜想的更多介紹，推薦這個視頻：

復數與其實部和虛部緊密聯系。根據 sum(a_n+b_ni)=sum a_n+isum b_n 有

定理：復級數 sum z_n=sum(a_n+b_ni) 收斂的充要條件是實部級數 sum a_n 和虛部級數 sum b_n 均收斂。

1.2 絕對收斂

若 sum|z_n| 收斂，稱 sum z_n 絕對收斂。

考慮 sum|z_n|=sumsqrt{a_n^2+b_n^2} 收斂，由於

sum|a_n|leqsumsqrt{a_n^2+b_n^2},quad sum|b_n|leqsumsqrt{a_n^2+b_n^2}

根據比較審斂法知實部級數 sum a_n 和虛部級數 sum b_n 均絕對收斂，那麼復級數 sum z_n=sum a_n+isum b_n 也收斂。

也就是說，復級數與實級數類似，有定理：絕對收斂的復級數必收斂。

收斂的級數不一定絕對收斂。比如說經典的調和級數 sumfrac 1n 不收斂，但是其交錯級數收斂。

2. 冪級數

2.1 冪級數的定義

冪級數說白瞭就是常系數多項式，次數可以無限高。多項式很簡單、清晰、好用，便於計算、求導、積分等等。

冪級數： sum_{n=0}^infty c_nz^n=c_0+c_1z+c_2z^2+cdots+c_nz^n+cdots

可以把上式的自變量 z 平移一下，得到的也是冪級數：

sum_{n=0}^infty c_n(z-a)^n=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+cdots+c_n(z-a)^n+cdots

以上式子中， c_0,c_1,c_2cdots 都是常復數。

如果冪級數收斂，令其收斂到 f(z) ，稱其為和函數。

冪級數收斂

2.2 Abel定理

我們知道，實冪級數有Abel定理，引出瞭收斂域的概念。復冪級數有沒有類似的性質呢？

設冪級數 f(z_0)=sum_{n=0}^infty c_n(z_0-a)^n 收斂，以 a 為圓心， z_0 為圓上一點畫圓，研究圓內一點 z 的絕對冪級數 sum_{n=0}^infty |c_n(z-a)^n| 是否收斂。

Abel定理證明1

先看看 z_0 點的絕對冪級數 sum_{n=0}^infty |c_n(z_0-a)^n| ，就是把所有上圖中的綠色向量轉到實軸正方向然後累加，設 |c_n(z_0-a)^n|=l_n ，那麼絕對冪級數等於 sum_{n=0}^infty l_n ，即上圖中的橙色箭頭。這個絕對冪級數是有可能發散的，暫時先放在這。

再看看 z 點的絕對冪級數 sum_{n=0}^infty |c_n(z-a)^n| . 容易發現， z 點的絕對冪級數要比 z_0 點的絕對冪級數小，那麼具體小多少呢？每一項有 |c_n(z-a)^n|=|c_n(z_0-a)^n|left|frac{z-a}{z_0-a}right|^n ，由於點 z 在圓內，必然有 left|frac{z-a}{z_0-a}right|=q<1 . 由此推出 z 點的絕對冪級數等於 sum_{n=0}^infty l_nq^n ，即上圖深紅色的箭頭。這個 q^n 是個公比小於 1 的等比數列誒，隻要 l_n 增長不太快，感覺很有可能是收斂的！

再看看 l_n 的情況，試圖約束其大小：

Abel定理證明2

由於 z_0 點的冪級數收斂，有 lim_{ntoinfty} c_n(z_0-a)^n=0 ，那麼所有綠色箭頭中一定有最長的一根，記這個最長的長度為 M ，那麼必然 sum_{n=0}^infty l_nq^nlesum_{n=0}^infty Mq^n=Msum_{n=0}^infty q^n 是收斂的！

綜上所述， z_0 的絕對冪級數不超過一個線性增長的發散冪級數 sum M ， z 的絕對冪級數不超過 sum M 對應乘以收斂的等比數列，結果 sum Mq^n 是必然收斂的。費瞭這麼大勁，終於證明瞭Abel定理！

概括來說，就是：若一個點收斂，則更近的點絕對收斂；如果一個點不絕對收斂，則更遠的點發散。非常精簡漂亮的定理！

2.3 收斂域

基於Abel定理，復冪級數也有瞭收斂域這個概念。

收斂域

如果知道一個點絕對收斂，如上圖中的綠點，那麼這個圓內綠色區域必然絕對收斂；如果知道一個點發散，如上圖中的紅點，那麼這個圓外紅色區域必然發散。

至於中間空白部分怎麼確定，可以任取一個點，如上圖中的橙點，要麼絕對收斂要麼條件收斂要麼發散。如果絕對收斂，那麼擴展綠色區域；如果發散，那麼擴展紅色區域；如果條件收斂，那麼正好在收斂域邊界之上。總而言之，白色未知區域總會越來越小，以至於收縮到一個圓上，這個圓就是收斂域的邊界，這個圓的半徑就是收斂半徑。圓內必絕對收斂，圓外必發散，圓上不清楚，要具體分析。

3. 泰勒級數

3.1 泰勒定理

與實函數一樣，復變函數也可以展開為泰勒級數。

設實函數 f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+cdots=sum_{n=0}^infty c_n(x-a)^n ，兩邊同時求 k 次導並代入 x=a ，得 f^{(k)}(a)=k!c_k ，即 c_k=frac{f^{(k)}(a)}{k!} . 這個級數在其特定的收斂域內收斂到 f(x) ，需要專門求取收斂域。

實函數的泰勒級數推薦這個視頻：

同樣地，復變函數的展開式 f(z)=sum_{n=0}^infty c_n(z-z_0)^n 也有 c_k=frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} . 不過這個級數什麼情況下收斂到 f(z) 呢？收斂域怎麼求呢？

如果 f(z) 解析，滿足高階導數公式，有 c_k=frac{1}{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{k+1}}dzeta ，把它代回泰勒級數，有

sum_{n=0}^infty c_n(z-z_0)^n= sum_{n=0}^infty frac{1}{2pi i} oint_C frac{f(zeta)}{zeta-z_0}left(frac{z-z_0}{zeta-z_0}right)^n dzeta

這裡面有個等比級數，當 |z-z_0|<|zeta-z_0| 的時候，等比級數收斂，有

上式=frac{1}{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{zeta-z_0}left(frac{1}{1-frac{z-z_0}{zeta-z_0}}right)dzeta=frac{1}{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta=f(z)

我可以讓路徑 C 在 f(z) 解析的范圍內盡可能地大，那麼 |z-z_0|<|zeta-z_0| 的范圍也就盡可能地大。當 f(z) 在一個圓域內解析時， C 可以任意靠近這個圓的邊界， z 也可以任意靠近這個圓的邊界，如下圖所示：

泰勒級數收斂域的證明

所以有如下定理：

也就是說，泰勒級數的收斂圓域可以不斷增大，直到碰到一個 f(z) 的奇點為止。這也可以更好地說明實函數泰勒級數的收斂域，比如說 frac{1}{1+x^2} 的泰勒級數收斂域是 |x|<1 ，因為有 pm i 的奇點。

3.2 泰勒級數舉例

經典的泰勒級數有：

e^z=sum_{n=0}^infty frac{z^n}{n!}=1+z+frac{z^2}{2!}+frac{z^3}{3!}+frac{z^4}{4!}+cdots

sin z=sum_{n=0}^infty(-1)^nfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}-frac{z^7}{7!}+cdots

cos z=sum_{n=0}^infty(-1)^nfrac{z^{2n}}{(2n)!}=1-frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-frac{z^6}{6!}+cdots

frac{1}{1-z}=sum_{n=0}^infty z^n=1+z+z^2+z^3+z^4+cdots

4. 洛朗級數

泰勒級數的收斂圓隻能擴張到最近的一個奇點為止，那麼其它區域有沒有辦法展開呢？有！洛朗級數解答瞭這個問題。

洛朗級數可以把復變函數在解析環域上展開。解析環域有以下兩種情況，右邊的情況視為圓環的外圓半徑趨於無窮大。

解析環域

我們現在來推導看看洛朗級數是如何展開的。假設環域為 R_1<|z-z_0|<R_2 .

上面證明泰勒定理的最後一步是：

frac{1}{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{zeta-z_0}left(frac{1}{1-frac{z-z_0}{zeta-z_0}}right)dzeta=frac{1}{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta=f(z)

這啟發我們先對 f(z) 用柯西積分公式，再把 frac{1}{zeta-z} 利用等比級數展開。然而，柯西積分公式的使用條件是路徑 C 的內部完全解析，而 f(z) 隻在一個環域內解析。我們可以用挖洞的方法來構造路徑：

挖洞構造路徑

路徑內完全解析，而且點 z 在其中，可以使用柯西積分公式。讓右上角的缺口收縮閉合，則缺口處聯絡線的積分會互相抵消，那麼積分路徑就隻需要考慮大小兩個圓瞭。記小圓路徑為 L_1 ，大圓路徑為 L_2 ，根據柯西積分公式有：

2pi if(z)=oint_{L_1}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta+oint_{L_2}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta

右邊的積分因為 |z-z_0|<|zeta-z_0| 可以用類似泰勒級數的方法，我們先算右邊：

begin{align} oint_{L_2}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta&=oint_{L_2}frac{f(zeta)}{(zeta-z_0)-(z-z_0)}dzeta\ &=oint_{L_2}frac{f(zeta)}{zeta-z_0}left(frac{1}{1-frac{z-z_0}{zeta-z_0}}right)dzeta\ &=sum_{n=0}^inftyoint_{L_2}frac{f(zeta)}{zeta-z_0}left(frac{z-z_0}{zeta-z_0}right)^ndzeta\ &=sum_{n=0}^infty (z-z_0)^n oint_{L_2}frac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{n+1}}dzeta end{align}

這其實跟泰勒級數一模一樣，就是逆過來推理罷瞭。

左邊的積分有 |z-z_0|>|zeta-z_0| ，需要換一種展開方式：

begin{align} oint_{L_1}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta&=oint_{L_1}frac{f(zeta)}{(zeta-z_0)-(z-z_0)}dzeta\ &=oint_{L_1}frac{f(zeta)}{z-z_0}left(frac{-1}{1-color{red}{frac{zeta-z_0}{z-z_0}}}right)dzeta\ &=-sum_{n=0}^inftyoint_{L_1}frac{f(zeta)}{z-z_0}left(frac{zeta-z_0}{z-z_0}right)^ndzeta\ &=-sum_{n=0}^infty frac{1}{(z-z_0)^{n+1}} oint_{L_1}f(zeta)(zeta-z_0)^ndzeta\ &=-sum_{n=-infty}^{-1} (z-z_0)^n oint_{L_1}frac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{n+1}}dzeta end{align}

由於解析區域內積分與路徑無關，我們可以把這兩個求和式合並起來。先把 L_1 的方向反一下，順時針變成逆時針轉，積分會加個負號。可以把兩條路徑等效為任何一條在環域內逆時針轉一圈的路徑 C ，相加得到：

2pi if(z)=sum_{n=-infty}^infty(z-z_0)^noint_Cfrac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{n+1}}dzeta

這玩意不是冪級數，因為有負冪項，但是展開的目的還是達到瞭。我們稱這種有負冪項的展開形式為雙邊冪級數。有定理：

註意一般 c_kneqfrac{f^{(k)}(z_0)}{k!} ，因為柯西積分公式和高階導數公式的前提是路徑 C 內完全解析，然而我們現在隻保證環域解析。

這玩意相當於泰勒級數的推廣，也可以在實函數上用。比如說 frac{1}{1-x} 在 |x|>1 的地方就可以洛朗展開為 frac{1}{x}left(frac{-1}{1-frac1x}right)=-left(frac1x+frac1{x^2}+frac1{x^3}+cdotsright)=-sum_{n=-infty}^{-1}x^n . 你可以代入一些值驗算一下這個展開式的精確性。

總而言之，洛朗級數展開是目前最強的展開瞭，隻要復變函數在某環域上解析，都可以展開！