在AP微積分、IBHL、Alevel中都有冪級數的身影，我們不僅要知道 x=a 處展開的泰勒級數公式 sum_{n=0}^{infty} a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+ldots+a_{n}(x-a)^{n}+ldots

，還要熟悉常見函數的麥克勞林展開公式( x=0 處展開)，比如

frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+cdots+x^{n}+cdots=sum_{n=0}^{infty} x^{n} quad(|x|<1)

frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-cdots+(-x)^{n}+cdots=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n} x^{n} quad(|x|<1)

e^{x}=1+x+frac{x^{2}}{2 !}+cdots+frac{x^{n}}{n !}+cdots=sum_{n=0}^{infty} frac{x^{n}}{n !} quad(text { all real } x)

sin x=x-frac{x^{3}}{3 !}+frac{x^{5}}{5 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+cdots=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n} frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} quad(text { all real } x)

cos x=1-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+cdots=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n} frac{x^{2 n}}{(2 n) !} quad(text { all real } x)

ln (1+x)=x-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-cdots+(-1)^{n-1} frac{x^{n}}{n}+cdots=sum_{x=1}^{infty}(-1)^{n-1} frac{x^{n}}{n} quad(-1<x leq 1)

(1+x)^{p}=sum_{k=0}^{infty} frac{p(p-1) ldots .(p-k+1)}{k !} x^{k}, |x|<1, pin mathbb{R}

cdots

看到那麼多公式，很多同學都感到很絕望，這些公式長得不是都差不多嘛？？

有些程度好的同學可能在想，根本不用記這些公式，到時直接推一下就可以瞭，不就是求 n 階導。

但是，不是每個函數求 n 階導都像 e^x 那麼容易的，而且考試是一個限時測試，我們可能沒有那麼多時間用來推導這些公式。

所以接下去，本文就來介紹一下如何巧妙記住這些函數的麥克勞林級數展開。

註：是我認為這樣記憶比較方便，如果大傢有更好的方法歡迎留言交流。另外，我這裡隻介紹展開形式，對於收斂區間大傢可以看看之前介紹的《冪級數收斂半徑及收斂區間》一文。這裡再強調一下，收斂區間很重要，凡在收斂區間外取值都是耍流氓。

接下去開始我們的表演：

e^x 的麥克勞林級級數展開其實就是在記憶任意函數的麥克勞林級數展開公式 f(x)=f(0)+f^{prime}(0) x+frac{f^{prime prime}(0)}{2 !} x^{2}+cdots+frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+cdots ，因為 (e^x)^{(n)}=e^x ，而 e^0=1 ，所以我們隻需要記住原來的展開公式，把所有的導數部分換成1就可以瞭。 square

對於 frac{1}{1-x} 展開的記憶，大傢可以聯想一下我們無窮等比數列的求和。當 rneq1 時等比數列前 n 項的和為 S_n=frac{a_1(1-r^n)}{1-r} 。特別的，當 |r|<1 時，無窮等比數列的和為 S=frac{a_1}{1-r} 。那麼我們這裡的 1+x+x^{2}+cdots+x^{n}+cdots 不就是一個首項為1，公比為 x,(|x|<1) 的無窮等比數列求和，就等於 frac{1}{1-x} 。 square

有瞭 frac{1}{1-x} 的展開公式，那麼記憶 frac{1}{1+x} 就簡單很多，隻需要把它改寫成 frac{1}{1-(-x)} 就可以瞭。

frac{1}{1-(-x)}=1+(-x)+(-x)^{2}+cdots+(-x)^{n}+cdots

=1-x+x^{2}-cdots+(-x)^{n}+cdots square

我們都知道 sin x 是奇函數，而奇數就是 1,3,5,7ldots 所以展開後都是 frac{x^1}{1!},frac{x^3}{3!},frac{x^5}{5!},ldots 而我們的符號與 cos x 一樣都是正負交替的。 square

記憶 cos x 與 sin x 類似，因為 cos x 是偶函數，而偶數當然就是 0,2,4,6,8ldots ,所以展開後都是 frac{x^0}{0!},frac{x^2}{2!},frac{x^4}{4!},ldots ,符號我們之前也說瞭是正負交替的。 square

函數 ln(1+x) 直接記憶也行，蠻有特色的，不過有更好的。我們知道 ln(1+x)'=frac{1}{1+x} ，而 frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-cdots+(-x)^{n}+cdots 我們之前已經講過怎麼記憶。如果我們想知道 ln(1+x) 的展開形式隻需要對 ln(1+x)'=1-x+x^{2}-cdots+(-x)^{n}+cdots 兩邊積分就可以瞭，

ln (1+x)=int (1-x+x^{2}-cdots+(-x)^{n}+cdots)dx

=x-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-cdots+(-1)^{n-1} frac{x^{n}}{n}+cdots square

類似的，我們來推導一下 arctan x 的麥克勞林展開：

因為 (arctan x)'=frac{1}{1+x^2}=1-x^2+(x^2)^{2}-cdots+(-(x^2))^{n}+cdots

所以， arctan x=int (1-x^2+(x^2)^{2}-cdots+(-(x^2))^{n}+cdots)dx

=x-frac{x^{3}}{3}+frac{x^{5}}{5}-frac{x^{7}}{7}+dots square

其實除瞭積分，我們也可以用求導，比如 (sin x)'=cos x ，所以

(sin x)'=(x-frac{x^{3}}{3 !}+frac{x^{5}}{5 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+cdots)'

1-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+cdots=cos x square

對於 (1+x)^{n} 我們有二項式展開：

=C_n^0+C_n^1 x+C_n^2 x^2+cdots+C_n^k x^k+cdots+C_n^nx^n 。

對於 (1+x)^{p} 我們隻要仿照二項式展開就可以瞭，隻不過這裡的 n 變成瞭任意的實數 p 。 square

通過上面的講述，我相信大傢對於這些常見函數的麥克勞林展開會有更加深刻的記憶，當然每個人都有自己喜歡的記憶方式，隻要能夠幫助自己把這些公式記住瞭都是好的方法。不過記住這些公式還是第一步，還要學會靈活應用，這個有機會再來分享吧。

這裡留一個小問題：

在剛才我們也說瞭可以通過 sin x 求導來推導 cos x 的麥克勞林展開形式，那麼按照道理我們也可以通過對-sin x 的積分來得到 cos x (int -sin xdx=cos x) ,於是

int-sin x dx=int(-x+frac{x^{3}}{3 !}-frac{x^{5}}{5 !}-cdots+(-1)^{n+1} frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+cdots)dx

=-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+cdots

但是我們知道 cos x=boxed{1}-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-cdots+(-1)^{n} frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+cdots ，那麼那個 “1” 到哪裡去瞭呢？？？

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