一、奇偶性定義

（1）有前提： f(x) 的定義域 D 關於原點對稱（前提條件必須滿足，後面的判斷都必須建立在這個基礎上）

• 如 f(x)=x^{5} 為奇函數，倘若規定瞭其定義域為 (-3,5) ，那麼便不是奇函數，因為此時的定義域不關於原點對稱

（2） f(x)=f(-x),f(x) 為偶函數

（3） f(-x)=-f(x),f(x) 為奇函數

（4） F(x)=f(x)+f(-x),F(x) 為偶函數

（5） F(x)= f(x)-f(-x),F(x) 為奇函數

（6） f(x)=f(-x)=-f(x),f(x) 既是奇函數，也是偶函數

（7） f(x)ne f(-x)ne-f(x),f(x) 是非奇非偶函數（即既不是奇函數，也不是偶函數）

• 註意：以上的等式必須對定義域內的任何一個 x 都成立才可以
• 如圖1， f(x)=x^{2},xin R 為偶函數

圖1

• 如圖2， f(x)=x^{3},xin R 為奇函數

圖2

（8）滿足 frac{f(x)}{f(-x)}=1,f(x)-f(-x)=0,f(x) times f(-x)=f^{2}(x) 的函數為奇函數

（9）滿足 frac{f(x)}{f(-x)}=-1,f(x)+f(-x)=0,f(x)times f(-x)=-f^{2}(x) 的函數為偶函數

（10）奇函數滿足 f(0)=0

二、偶函數和奇函數的圖像特點

（1）偶函數圖像關於 y 軸對稱。在對稱的區間上，單調性是相反的

• 假設偶函數 f(x) 在 (-1,0) 單調遞減，那麼 f(x) 在對稱區間 (0,1) 單調遞增

（2）奇函數圖像關於原點對稱。在對稱的區間上，單調性是相同的

• 假設奇函數 g(x) 在 (-1,0) 單調遞減，那麼 g(x) 在對稱區間 (0,1) 也是單調遞減

三、常見的偶函數、奇函數

（1）常見的偶函數有： x^{2n},left| x right|,cosx,y=c(c為常數)

（2）常見的奇函數有： x^{2n-1},log_{a}(sqrt{1+x^{2}}pm x),sinx,tanx,cotx,arcsinx,arctanfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1},lnfrac{1-x}{1+x},ln(x+sqrt{1+x^{2}})

• f(x)=0 既是奇函數也是偶函數

四.常用結論

（1）偶函數加常數是偶函數，奇函數加常數不是奇函數

（2）定義域關於原點對稱的任意函數,都可以拆成“一個奇函數”+“一個偶函數”的形式

（3）若 f(x) 連續且為奇函數，那麼 f'(x) 為偶函數;若 f(x) 連續且為偶函數，那麼 f'(x) 為奇函數

（4） f(x) 連續且 f'(x) 為奇函數，那麼 f(x) 為偶函數

（5）f(x) 連續且 f'(x) 為偶函數， f(x) 不一定是奇函數（有且隻有一種是奇函數，即不加常數的時候）

五、運算規律

（1）遵循“同偶異奇”的規律。即兩個函數奇偶性相同運算結果為偶函數，兩個函數奇偶性不同運算結果為奇函數

• 偶函數±偶函數=偶函數
• 奇函數×奇函數=偶函數
• 偶函數×偶函數=偶函數，偶函數×奇函數=奇函數
• 偶函數 div 偶函數=偶函數，奇函數 div 奇函數=偶函數
• 奇函數 div 偶函數=奇函數，偶函數 div 奇函數=奇函數

（2）這兩個例外

• 奇函數+奇函數=奇函數，奇函數+偶函數一般為非奇非偶（函數為非零函數）

六、函數復合運算時的奇偶性

（1）遵循“內偶則偶，內奇同外”的原則。即“內部函數”為偶函數時，復合函數是偶函數；“內部函數”是奇函數時，復合函數的奇偶性和“外部函數“保持一致

• 假設F(x)=f(u),u=g(x) 且 g(x) 為偶函數，那麼 F(x)=fleft[ g(x)right] ，則不管 f(u) 的奇偶性是什麼， F(x) 為偶函數，因為“內偶則偶”
• 假設 G(x)=f(v),v=h(x) 且 h(x) 為奇函數，那麼 G(x)=fleft[ h(x) right] ,判斷 G(x) 的奇偶性和f(v) 保持一致。