自發輻射、受激輻射和受激吸收

光的發射和吸收是光場與物質作用的結果。光場與物質作用使得組成物質的原子 （或分子）從一個本征態 （能級） 躍遷到另一個本征態，與此伴隨著光場某一波型內增加或減少一個光子，這就是單光子的發射和吸收行為，這種行為包括三種基本過程，即自發輻射、受激輻射和受激吸收。

自發輻射

原子中處於高能級的電子自發地向低能級躍遷，並發射出一個能量為 hnu =E_2 -E_1 的光子的現象，叫自發輻射。

自發輻射示意圖

自發輻射躍遷過程用自發輻射躍遷概率 A_{21} 描述。 A_{21} 定義為單位時間內發生自發輻射躍遷的粒子數密度占處於 E_{2} 能級總粒子數密度的百分比：

A_{21}=left(dfrac{mathrm{d}n_{21}}{mathrm{d}t}right)_{mathrm{sp}}dfrac{1}{n_2} =-dfrac{1}{n_{2}}dfrac{mathrm{d}n_{2}}{mathrm{d}t} \

式中， mathrm{d}n_{21} 為 mathrm{d}t 時間內自發輻射粒子數密度； n_{2} 為 E_{2} 能級總粒子數密度；下標sp表示自發輻射躍遷。若 n_{20} 為起始時刻 t = 0 的粒子數密度，則求解這個微分方程可得

n_{2}(t)=n_{20}mathrm{e}^{-A_{21}t} \

處於激發態的原子在沒有外界擾動的情況下，總會由於自發輻射而要向低能態躍遷，但會有一個平均停留時間，這個時間稱為激發態的平均壽命（定義為原子數密度由 n_{20} 降到 1/mathrm{e} 所用的時間），即

tau_{s}=dfrac{1}{A_{21}} \

自發輻射過程隻與原子本身性質有關，而與外界輻射的作用無關。各個原子的輻射都是自發地、獨立地進行的，因而各光子的初始相位、光子的傳播方向和光子的振動方向等都是隨機的，是非相幹的。除激光器以外，普通光源的發光都屬於自發輻射。

受激輻射

當外來光子的頻率滿足 hnu=E_{2}-E_{1} 時，使原子中處於高能級的電子在外來光子的激發下向低能級躍遷而發光的現象，叫受激輻射。

受激輻射光子與入射光子具有相同的頻率、傳播方向、相位、偏振。按照經典原子模型，原子看作簡諧運動的電偶極子，自發躍遷是原子中電子的自發阻尼震蕩，因此每個原子的自發躍遷互相之間沒有關聯；而受激輻射可以看作在外加光場作用下的受迫振動，其振動頻率、相位、方向等與外加光場一致。量子電動力學可以嚴格證明受激輻射光子與入射光子屬於同一種光子態。

受激輻射示意圖

受激輻射躍遷用受激輻射躍遷概率 W_{21} 來描述：

W_{21}=left( dfrac{mathrm{d}n_{21}}{mathrm{d}t}right)_{mathrm{st}}dfrac{1}{n_{2}} =-dfrac{1}{n_{2}} dfrac{mathrm{d}n_{2}}{mathrm{d}t} \

式中， mathrm{d}n_{21} 是 mathrm{d}t 時間內受激輻射粒子數密度；下標st為表示受激輻射躍遷。

受激輻射躍遷與自發輻射躍遷的區別在於，它是在輻射場(光場)的激勵下產生的。受激輻射的躍遷概率不僅與原子本身的性質有關，還與外來光場的單色能量密度 rho_{ nu} 成正比，即

W_{21}=B_{21}rho_{nu} \

式中， B_{21} 為受激輻射躍遷愛因斯坦系數，它隻與原子本身的性質有關，表征原子在外來光輻射作用下產生 E_2 到 E_1 受激輻射躍遷的本領。

受激吸收

處於低能級 E_{1} 的原子，在頻率為 nu 的光場作用（照射）下，吸收一個能量為 hnu_{21} 的光子後躍遷到高能級 E_{2} 的過程稱為受激吸收躍遷。

受激吸收示意圖

受激吸收是受激輻射的反過程。受激吸收躍遷用受激吸收躍遷概率 W_{12} 來描述

W_{12}=left( dfrac{mathrm{d}n_{12}}{mathrm{d}t}right)_{mathrm{st}}dfrac{1}{n_{1}} =dfrac{1}{n_{1}} dfrac{mathrm{d}n_{2}}{mathrm{d}t} \

式中， mathrm{d}n_{12} 是 mathrm{d}t 時間內受激輻射粒子數密度； n_{1} 是 E_{1} 能級粒子數密度。

受激吸收也是在輻射場作用下產生的，因此躍遷概率 W_{12} 也與外來光場的單色能量密度 rho_{ nu} 成正比

W_{12}=B_{12}rho_{nu} \

式中， B_{12} 為受激吸收躍遷愛因斯坦系數，它隻與原子本身的性質有關，表征原子在外來光輻射作用下產生 E_1 到 E_2 受激輻射躍遷的本領。

三個愛因斯坦系數 A_{21}、B_{21}、B_{12} 之間的關系

表征自發輻射、受激輻射和受激吸收躍遷本領強弱的三個系數為 A_{21}、 B_{21} 、 B_{12} 。在光場與物質相互作用過程中，上述三個過程同時發生。在系統處於熱平衡態時，能級 E_2 和 E_1 上的粒子數密度 n_{2} 和 n_1 應該保持不變。換句話說，從 E_2 躍遷到 E_1 的粒子數目應等於從 E_1 躍遷到 E_2 的數目，所以有

A_{21}n_2+B_{21}rho _{nu}n_2=B_{12}n_1rho _{nu} \

於是得到

dfrac{n_2}{n_1}=dfrac{B_{12}rho _{nu}}{A_{21}+B_{21}rho _{nu}} \

另一方面，當物體處於熱平衡狀態時，每個能級上都具有確定的粒子數，能級 E_i 上所具有的粒子數 n_{i} (也被稱為集居數)的分佈規律服從玻耳茲曼定律，即

n_{i}propto f_{i}e^{-frac{E_{i}}{k_{b}T}} \

f_i 為 E_i 能級的統計權重(為常數)； k_{b} 為玻耳茲曼常數， k_{b}=1.38 times 10^{-23}mathrm{J}/mathrm{K} 。 溫度越高，粒子數也越多；能級越高，粒子數越少。

於是得到兩個能級的粒子數之比為

dfrac{n_{2}}{n_{1}}=dfrac{f_2}{f_1}e^{-frac{left( E_2-E_1 right)}{k_bT}} \

比較兩條 n_2/n_1 的式子，可以得到

rho _{nu}=dfrac{A_{21}}{B_{21}}cdot dfrac{1}{cfrac{B_{12}f_1}{B_{21}f_2}e^{frac{hnu}{kT}}-1} \

此外，根據黑體輻射的普朗克公式，熱平衡狀態下黑體單色輻射能量密度

rho _{nu}=frac{8pi hnu ^3}{c^3}cdot frac{1}{e^{frac{hnu}{kT}}-1} \

比較上面兩式，可以得到三個愛因斯坦系數之間的關系

dfrac{A_{21}}{B_{21}} = dfrac{8pi hnu ^3}{c^3} \

f_1B_{12} = f_2B_{21} \

例題 氖原子的某一激發態和基態能級的能量差 Delta E 為 16.9 eV，若該原子體系處於室溫（T=300 K），它處於激發態的原子數與處於基態的原子數之比是多少？（ f_{1}=f_{2} ）

解：根據玻耳茲曼分佈定律有

dfrac{n_{2}}{n_{1}}=frac{f_{2}}{f_{1}}mathrm{e}^{-frac{(E_{2}-E_{1})}{k_{b}T}} =mathrm{e}^{-frac{16.9times 1.6times 10^{-19}}{1.38times 10^{-23}times 300}}=mathrm{e}^{-653}ll 1 \

所以在正常情況下，處於基態的原子數量是最多的；能級越高，處於該能級的原子數就越少。

例題 室溫下（T=300 K），某物質中 E_{1} 和 E_{2} 兩能級的能量差為0.5 eV。計算 E_{2} 能級粒子數與 E_{1} 能級粒子數之比。當原子從 E_{2} 能級躍遷到 E_{1} 能級時，輻射出的光子波長為多少？（ f_{1}=f_{2} ）

解：根據玻耳茲曼分佈定律有

dfrac{n_{2}}{n_{1}}=frac{f_2}{f_1}mathrm{e}^{-frac{left( E_2-E_1 right)}{k_bT}}= mathrm{e}^{-frac{0.5times 1.6times 10^{-19}}{1.38times 10^{-23}times 300}}=4times 10^{-9} \

這說明處於激發態 E_{2} 能級的粒子數隻有基態的粒子數的 4times 10^{-9} ，基態粒子數要比激發態多得多。計算波長：

lambda =frac{hc}{Delta E}=frac{6.626times 10^{-34}text{J}cdot text{s}times 3times 10^8text{m}/text{s}}{0.5mathrm{eV}times left( 1.6times 10^{-19}text{J}/text{eV} right)}=2.48 mathrm{mu m} \

這個波長處於近紅外波段。

激光產生的條件

受激輻射光放大

受激輻射過程能夠實現相同狀態(頻率、相位、振動方向及傳播方向均相同)的光子數目的幾何級數遞增，引起光放大。一個外來光子引發大量發光粒子產生受激輻射，並產生大量運動狀態完全相同的光子，這種現象稱為受激輻射光放大。

受激輻射光放大

但是，光與原子體系相互作用時，總同時存在自發輻射、受激輻射和受激吸收三種過程。光是否放大要看哪種躍遷過程占優勢。為瞭獲得激光，要使得受激輻射占優勢，也就是要解決兩個基本矛盾：受激輻射和受激吸收的矛盾，受激輻射和自發輻射的矛盾。

集居數反轉

形成集居數反轉分佈是克服受激輻射和受激吸收的矛盾的必要條件。通常情況下，原子體系總是處於熱平衡狀態，各能級粒子數服從玻耳曼茲統計分佈，如果令$ f_1 =f_2 $，那麼有

dfrac{n_{2}}{n_{1}}=mathrm{e}^{-frac{left( E_2-E_1 right)}{k_bT}} \

而能級 E_2 > E_1 ，所以 n_2<n_1 ，能級集居數恒小於低能級集居數。根據愛因斯坦系數關系， f_1 =f_2 ，則 B_{12}=B_{21} ，當入射頻率為 nu=（(E_2- E _1)/h 的光通過物質時，受激吸收光子數 n_1W_{12} 恒大於受激輻射光子數 n_2W_{21} ，處於熱平衡狀態下的物質隻能吸收光子，光強減弱。要形成光強放大，就需要 n_2>n_1 ，即形成集居數(粒子數)的反轉分佈。

一般而言，處於熱平衡態下的物質是不能實現粒子數反轉的。由上式可知，如果 T<0 ，就有 n_2>n_1 ，實現粒子數反轉，這種狀態叫作負溫度狀態，激光器是遠離熱平衡狀態的系統。要打破熱平衡條件，就需要外界向物質提供能量，如大量光照或放電，這種利用外界能量使集居數反轉的過程稱為泵浦、激勵或是抽運。

集居數反轉分佈

激活粒子的能級系統

形成穩定的激光，必須有能夠形成粒子數反轉的發光粒子，稱之為激活粒子，它可以是分子、原子或離子；這些激活粒子有些可以獨立存在，有些則必須依附於某些材料中，為激活粒子提供寄存場所的材料，叫做基質。基質與激活粒子統稱為激光工作物質。

並非各種物質都能實現粒子數反轉，在能實現粒子數反轉的物質中，也並非是在該物質的任意兩個能級間都能實現粒子數反轉。如果泵浦的粒子在激發態壽命很短，不能夠在一定時間大量聚集，也是不能實現粒子數反轉的。因此我們需要工作物質存在亞穩態結構，即有合適的能級系統。

能級系統首先必須要有激光上能級和激光下能級；除此之外，往往還需要有一些與產生激光有關的其他能級。通常的激光工作物質都是由包含有亞穩態的三能級結構或四能級結構的原子體系組成。

二能級系統

二能級系統

二能級系統不能實現粒子數反轉。因為熱平衡時，對上能級的粒子數密度 n_2 的變化率，有

dfrac{mathrm{d}n_2}{mathrm{d}t}=W_{12}n_1-W_{21}n_2-A_{21}n_2 \

而由於 B_{12}=B_{21} ，則 W_{12}=W_{21} 。到達穩態時，粒子數密度 n_{2} 不再變化，於是得到

dfrac{n_2}{n_1}=dfrac{W}{A_{21}+B_{21}W} \

無論多強的光激勵， n_2 始終小於 n_1 。這說明，二能級系統不能實現粒子數反轉。

三能級系統

三能級系統

理論分析和實驗結果都表明，三能級系統有可能實現粒子數反轉。參與激光的三個能級為：激光下能級 E_1 ，為基態；激光上能級 E_2 ，為亞穩態；抽運高能級 E_3 ，實際上的 E_3 不隻是一個能級，而是代表一些較高的激發能帶。

E_3 能級的壽命很短，通常約為 10^{-8} mathrm{s} ，激活粒子很快以非輻射躍遷的形式迅速轉移到 E_2 上。 E_2 能級的壽命要長得多，約為 10^{-3} mathrm{s} ，在未形成粒子數反轉之前，激活粒子以自發輻射方式回到 E_1 。如果 E_1 的粒子被抽運到 E_3 ，且從 E_3 轉移到 E_2 的速率夠高，就可以在 E_2 和 E_1 之間形成粒子數反轉分佈。但是， E_1 能級上始終聚集著大量粒子，要實現粒子數反轉，外界泵浦的能量相當強才行。

紅寶石激光器是典型的三能級系統激光器，其原理後續再說。

四能級系統

四能級系統

對於多數激光工作物質來說，四能級系統更具有代表性。參與產生激光的四個能級為：抽運過程的低能級 E_1 （基態），抽運過程的高能級 E_4 ，激光上能級 E_3 （亞穩態）和激光下能級 E_2 。這裡，激光下能級 E_2 不再是基態，因而在熱平衡狀態時處於 E_2 的粒子數很少，有利於在 E_3 和 E_2 之間形成數子數反轉。

在四能級系統中，較之三能級系統更易實現激光振蕩。然而，四能級系統和三能級系統之間的差別並不是絕對的，如果能級 E_2 和 E_1 靠得很近，四能級系統也就和三能級系統沒有什麼差別瞭。要使四能級系統的優越性更好地發揮出來，就必須選擇 E_2 和 E_1 能級的能量差適當大的工作物質。大量的實驗表明，已有的性能較好的激光器絕大多數都是屬於四能級系統。

摻釹的釔鋁石榴石晶體激光器和多數氣體激光器的工作物質的能級屬於四能級系統。

光的自激振蕩

受激輻射除瞭與受激吸收過程相矛盾外，還與自發輻射過程相矛盾。即使工作介質已實現粒子數反轉，也未必就能實現以受激輻射為主的輻射。為使受激輻射占絕對優勢，還需要利用光學諧振腔來實現光的自激振蕩，即激光振蕩。

所謂自激振蕩，就是在輸入微弱光強 I_{0} 時，通過增益使光強達到飽和，總能輸出確定大小的光強 I_{m} 。而要實現自激振蕩，需要光在諧振腔內來回一次所得到的增益大於同一過程中的損耗，且工作物質足夠長。

閾值條件

入射光通過介質後輸出，如果被吸收瞭就是損耗，被放大瞭就是增益。

單位長度介質對入射光的相對損耗率叫做損耗系數。損耗一般由吸收引起，所以損耗系數也叫吸收系數，定義為

alpha =-dfrac{mathrm{d}I( z )}{mathrm{d}z}cdot dfrac{1}{I( z )} \

入射光通過單位長度介質的相對增加率定義為增益系數

G( z ) =dfrac{mathrm{d}I( z )}{mathrm{d}z}cdot dfrac{1}{I( z )} \

當 I 很小時， G 近似常數，可以記為 G^{0} ，稱為小信號增益系數。將 G^{0} 代入上式，同時考慮增益和損耗兩式，設初始光強為 I_0 ，可以解得

Ileft( z right) =I_0e^{left( G^0-alpha right) z} \

要形成光放大，則 I(z) geqslant I_0 ，也就是 G^0 geqslant alpha 。

增益系數是正比於反轉粒子數密度的。光放大是以消耗反轉粒子數為代價的，隨著光放大，反轉粒子數密度下降，增益系數也下降，增益會逐漸達到飽和，這就是所謂增益飽和現象。

光學諧振腔

要輸出穩定光強，那麼就需要工作介質足夠長。實際上，激光器不需要很長的工作介質，而是利用光學諧振腔來解決這個問題。光學諧振腔由工作物質和兩塊相互平行，與工作介質軸線垂直的反射鏡，這是為瞭增加工作介質的有效長度，使受激輻射過程成為主導；諧振腔還對光束有方向選擇性：平行於軸線的放大增強，偏離軸向的逸出腔外，獲得高度方向性的激光；此外，諧振腔還能選擇激光頻率（形成駐波）。

光學諧振腔

激光器

一個激光器最基本的組成是泵浦源、諧振腔和激光工作介質。這裡先簡單介紹，各個部件的詳細介紹將放在後面的章節中。

激光器基本組成

泵浦源：對激光工作物質進行激勵，將激活粒子從基態抽運到高能級，以實現粒子數反轉。可以是光激勵、氣體放電激勵、化學激勵、核能激勵等。激勵源的選擇取決於工作物質的特點。因而不同工作物質往往需要不同的泵浦源。如對固體激光器一般采用脈沖氙燈、碘鎢燈等光激勵的辦法，對氣體激光器則用電激勵方法，通過放電直接激勵工作物質。此外激勵源的選擇也應考慮到激勵效率等問題。

諧振腔：增加工作介質的有效長度，對光束方向性加以選擇，選擇激光頻率等。光學諧振腔是決定激光器單色性、方向性、相幹性等輸出特性的最關鍵因素。更加具體的內容將在後面討論。

工作介質：實現粒子數反轉並產生光的受激輻射放大作用的物質體系。激光介質可以是氣體、液體、固體和半導體，要求存在亞穩態能級。為瞭選擇激光工作物質，必須對物質作能譜分析。在此基礎上根據不同的需要進行選擇。這是一個比較復雜的問題，需要考慮的問題很多，最重要的問題是一種物質是否有合適的躍遷能級，即在某兩能級之間可以實現粒子數反轉分佈。

下面簡單介紹幾種激光器。

紅寶石激光器：紅寶石激光器是最先實現激光作用的激光器，它發出694.3nm的紅色激光。其工作介質是紅寶石棒，由摻鉻的三氧化二鋁磨制成；采用光激勵的方法，通過 mathrm{Cr}^{3+} 受激輻射實現。

釔鋁石榴石激光器：釔鋁石榴石激光器是目前中小功率固體激光器中性能最好的一種激光器，能夠發出幾種波長的光。其工作物質是摻釹的石榴石棒，成分是 mathrm{Y}_{3}mathrm{Al}_{5}mathrm{O}_{12} ，簡稱YAG。它是四能級系統，通過 mathrm{Nd}^{3+} 受激輻射實現。

氦氖激光器：氦氖激光器是最早制成的一種氣體激光器，可以發出632.8nm、1150nm和3390nm波長的激光。它單色性好，結構簡單，輸出功率穩定，被廣泛應用。激光譜線都是發生於氖原子的不同激發態之間，而氦原子隻是起輔助作用。氖的能級結構復雜，但是也可以把它看作是四能級系統。