蒙日，法國數學傢、物理學傢和化學傢，畫法幾何的創始人。《畫法幾何》是在平面上繪制空間圖形，並在平面圖形上表達空間物體的大小、位置以及相互關系的一門學科。它在繪畫、建築、軍事等方面有著廣泛的應用。後人曾評價：“沒有蒙日的幾何，也許不可能有19世紀的大規模生產。”

蒙日的幾何避開瞭麻煩的計算，法國大革命前後，由於軍事建築上的需要，畫法幾何曾被列為軍事機密，未能及時公諸於世。直到軍事約束解除後，蒙日才公佈瞭他的研究成果，而這已經是30年以後的事瞭。

阿波羅尼斯圓、蒙日圓、費爾巴哈圓都是世界著名的圓，以此為載體的數學文化生機勃勃。阿波羅尼斯圓和蒙日圓，我曾多次提到，今日又遇上瞭，翻來覆去，是美好的回憶。

蒙日圓亦稱“準圓”，屬於“筷子夾湯圓”的一種。

以動點的坐標建立直線的方程，代入橢圓後，通過判別式為零得到一個關於斜率的一元二次方程，顯然兩切線的斜率均滿足此方程，因此兩切線的斜率即為該方程的兩根。

這便是法1的解題思路。

法1是解決“筷子夾湯圓”的常用解法，因其套路程式化，步驟易於掌握而十分流行。

本題的難點是選項A，一旦確定瞭蒙日圓的方程，剩下的便易如反掌。而A中求軌跡方程的難點在於設元，究竟是設點，還是設線，抑或是由點設線，莫衷一是。以上的煩惱不過是作繭自縛，因為設點或設線都無關緊要，殊途同歸。

法2便是純粹設線，這種求軌跡方程的技法叫做“交軌法”。坦率地說，交軌法是求軌跡方程中較難的一種，難就難在消參。這需要敏銳的洞察能力，強大的抗壓能力，以及彪悍的運算能力。一旦瞄準目標，三下五除二，便可一擊得手。

即便交軌法是我所鐘愛的方法，也沒打算推薦給所有人。不感興趣的完全可以跳過，絲毫不影響心情。

法3，幾何法。給出的目的在於說明這也是一種方式，但它卻並不尋常。如此多的線條縱橫交錯，令人心醉神迷。這不是關鍵，關鍵在於其中用到瞭一個工具——矩形性質。這並非什麼化外之物，我曾在介紹平面向量的時候多次提及。不用則罷，一用飛天。

想必你也知道，解析幾何也是幾何，所以幾何法一旦用上便可大顯身手。同樣，如果不感興趣，法3也沒必要費盡心機。會，未必與眾不同；不會，也不至於自慚形穢。

本題中所有的問題皆是軌跡的問題，有瞭選項A作鋪墊，選項BCD勢如破竹，一發而不可收拾。

判斷結論正確，嚴格推理；判斷結論謬誤，一個反例。選項B便是後者。

求折線段長度的最值——化折為直，等號在點共線時取得。有心二次曲線（橢圓與雙曲線）到一個焦點，則轉化到另一個焦點；無心二次曲線（拋物線）到焦點，則轉化到準線，反之亦然。

蒙日圓的內接矩形，對角線即為直徑，由此可利用均值不等式求得面積的最值。當矩形變為正方形，即矩形的頂點落在坐標軸上時，等號成立。

這裡的選項A完全可以單獨命題，而選項BCD亦可基於圓而自成一題。將二者糅合在一起反而方枘圓鑿，不免累贅。

以蒙日圓為載體考查數學文化是本題的目的，但如果事先知曉結論（如常關註本人），那麼本題唾手可得。當神秘的色彩消失殆盡，剩下幹癟的結論時，一切都變得興味索然。

上述定理的證明與本題一致，在此不作贅述。

另外，拋物線是沒有蒙日圓的。當然，如果強迫癥非要整統一，那麼動點的軌跡可視為半徑無窮大的圓。換言之，即是圓退化成一條直線——準線。

蒙日圓有諸多優美的性質，時常出沒於考試之中。它恍若帶著面具的幽靈，來無影又去無蹤，令人手足無措。精彩總在結束時，精彩總在下一次。下次我們繼續。